Trapezregel
Die Trapezregel beschreibt ein mathematisches
Verfahren zur numerischen
Annäherung des Integrals
einer Funktion
im Intervall
(Numerische
Quadratur).
Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve
im gegebenen Intervall durch ein Trapez
oder mehrere gleich breite Trapeze.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung dieser Trapeze: Man kann
die Kurve zum Beispiel näherungsweise durch eine Sehne zwischen den
Funktionswerten an den Stellen
und
ersetzen. Dies führt zur Sehnentrapezformel. Man kann aber auch in der
Mitte des Intervalls die Tangente an die Funktion legen und erhält dann die
Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel.
Beispiel
Mit Hilfe der im Folgenden erklärten Trapezformeln soll dieses bestimmte Integral näherungsweise berechnet werden.
Sehnentrapezformel

Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie
(dem Intervall auf der
-Achse),
den senkrechten Geraden
und
sowie der Sehne als Verbindungsgerade
zwischen
und
.
Diese Sehne ersetzt die Kurve
.
Die Sehnentrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:
Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“ (siehe Numerische Quadratur).
Ist
zweimal stetig differenzierbar in
,
dann gilt für das Restglied
folgende Abschätzung (siehe Numerische
Quadratur):
Ist
zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle
Das Vorzeichen
in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel machen: Falls die
Funktion ,
wie in der obigen Abbildung des Sehnentrapezes, streng
konkav ist, gilt
für alle
und daher auch für die Zwischenstelle
.
Somit folgt, dass
,
d.h. die gesuchte Fläche
ist größer als die Trapezfläche
,
wie auch die Abbildung zeigt.
Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von
bedeutet, dass die Formel für Geraden exakt ist, was auch anschaulich klar ist.
Der Genauigkeitsgrad ist somit 1.
Angewandt auf obiges Beispiel:
Wegen
folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche
kleiner ist als die Trapezfläche
,
in Übereinstimmung mit den errechneten Zahlen.
Zusammengesetzte Sehnentrapezformel
Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall
in
nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge
.
In jedem Teilintervall wendet man die Sehnentrapezformel für die einzelnen
Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man
die summierte (bzw. zusammengesetzte) Sehnentrapezformel:
mit
Angewandt auf obiges Beispiel:
Sei die Schrittweite
und damit
.
Dann ist
Sei die Schrittweite
und damit
.
Dann ist
Man sieht hier den Vorteil der Sehnentrapezregel: Verdoppelt man die Anzahl der Intervalle, so kann auf die vorangegangene Rechnung zurückgegriffen werden. Das ist bei der Tangententrapezregel (s.u.) nicht der Fall. Das ist einer der Gründe, warum die Romberg-Integration auf der Sehnentrapezregel als Basis aufbaut.
Die allgemeine Formel lautet:
Fehlerabschätzung
Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet
bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle
aus dem Intervall
Der Faktor
in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite
(Verdoppelung der Intervalle), wie es beim Romberg-Verfahren mit
der Romberg-Folge der Fall ist, der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird,
wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:
Angewandt auf obiges Beispiel:
Mit
folgt
und somit die Fehlerabschätzung
,
die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert
Analog erhält man die Fehlerabschätzung
,
die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert
Es gilt
Fehlerschätzung
Rechnet man die Sehnentrapezformel zweimal mit 2 verschiedenen Anzahlen von
Intervallen ,
so erhält man folgende Fehlerschätzung:
Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle
(Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:
Angewandt auf das obige Beispiel erhält man
Asymptotische Fehlerentwicklung
Wir bestimmen im Folgenden die Art des Fehlers der Trapezsumme
und im Speziellen ihre Abhängigkeit von der Schrittweite
,
wobei das Integral
bestimmt werden soll.
Seien dazu
- die Schrittweite:
mit
- Trapezsumme ist
-abhängig:
- der Integrand ist stetig-differenzierbar:
mit
.
Dann gilt das folgende Fehlerverhalten für die Trapezsumme
wobei die folgenden Definitionen gelten
Weiterhin sind die
durch die Bernoulli-Zahlen
gegeben und der Koeffizient des Resttermes
kann gleichmäßig in
abgeschätzt werden kann. Es gilt also
Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel


Das Trapez wird gebildet aus der Grundlinie
(dem Intervall auf der
-Achse),
den senkrechten Geraden
und
sowie der Tangente an
in der Mitte des Intervalls
.
Diese Tangente ersetzt die Kurve
.
Die Tangententrapezformel ergibt sich aus dem Flächeninhalt des beschriebenen Trapezes:
Diese Formel – und auch die folgenden – kann man herleiten aus der „Allgemeinen Quadraturformel für eine Teilfläche“ (siehe Numerische Quadratur).
Ist
zweimal stetig differenzierbar in
,
dann gilt für das Restglied
folgende Abschätzung (siehe Numerische
Quadratur):
Ist
zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle
:
Das Vorzeichen in dieser Formel kann man sich wie folgt geometrisch plausibel
machen: Falls die Funktion ,
wie in der obigen Abbildung des Tangententrapezes, streng
konkav ist, gilt
für alle
und daher auch für die Zwischenstelle
.
Somit folgt, dass
,
d.h. die gesuchte Fläche
ist kleiner als die Trapezfläche
,
wie auch die Abbildung zeigt.
Die Abhängigkeit des Fehlers von der 2. Ableitung von
bedeutet, dass die Formel für Geraden exakt ist, was auch anschaulich klar ist.
Der Genauigkeitsgrad ist somit 1.
Dreht man im obenstehenden Bild der Tangententrapezregel die Tangente im
Punkt
im Uhrzeigersinn bis man eine horizontale Gerade erhält, so entsteht ein
Rechteck mit der gleichen Fläche. Die so erhaltene Regel (Mittelpunktsregel)
ist somit eine andere geometrische Deutung der gleichen Quadraturformel.
Angewandt auf obiges Beispiel:
Wegen
folgt aus obiger Formel, dass die gesuchte Fläche
größer ist als die Trapezfläche
,
in Übereinstimmung mit den errechneten Zahlen.
Zusammengesetzte Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel
Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall
in
nebeneinanderliegende gleich große Teilintervalle der Länge
.
In jedem Teilintervall wendet man die Tangententrapezformel für die einzelnen
Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man
die summierte (bzw. zusammengesetzte) Tangententrapezformel:
mit
Angewandt auf obiges Beispiel:
Sei die Schrittweite
und damit
Sei die Schrittweite
und damit
.
Dann ist
Im Gegensatz zur Sehnentrapezregel kann bei der Tangententrapezregel bei Verdoppelung der Anzahl der Intervalle auf die vorangegangene Rechnung nicht zurückgegriffen werden.
Fehlerabschätzung
Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:
bzw. für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle :
Der Faktor
in obiger Formel bedeutet, dass bei einer Halbierung der Schrittweite
(Verdoppelung der Intervalle), der Fehler in etwa um den Faktor 4 kleiner wird,
wie auch nachfolgendes Beispiel zeigt:
Angewandt auf obiges Beispiel:
Mit
folgt
und somit die Fehlerabschätzung
,
die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert
Analog erhält man als Fehlerabschätzung
,
die erwartungsgemäß einen größeren Wert ergibt als den exakten Wert
Es gilt
Fehlerschätzung
Rechnet man die Tangententrapezformel zweimal mit zwei verschiedenen Anzahlen
von Intervallen ,
so erhält man wie bei der Sehnentrapezregel folgende Fehlerschätzung:
.
Speziell bei der Verdoppelung der Intervalle
(Halbierung der Schrittweite) erhält man die Fehlerschätzung:
.
Angewandt auf das obige Beispiel erhält man
.
Zusammenhang mit anderen Formeln
Wie man an obigen Beispielen sieht, gilt
Die allgemeine Formel lautet:
Für die Fehlerschätzung der Sehnentrapezregel erhält man somit
Addiert man zum Näherungswert
die Fehlerschätzung für
,
so erhält man die beiden besseren äquivalenten Formeln:
Das ist die Formel vonder Simpsonregel. Somit erhält man eine Formel vom Genauigkeitsgrad 3, die Polynome bis zum Grad 3 exakt integriert. Diese liefert i.A. bessere Resultate als
oder
.
Das ist die Formel für die 2. Spalte des Rechenschemas der Romberg-Integration bei Verwendung der Romberg-Folge. Somit ist die 2. Spalte des Rombergschemas die Simpsonregel mit dem Genauigkeitsgrad 3.
Angewandt auf obiges Beispiel erhält man mit
eine bessere Näherung für das exakte Integral
als mit ,
oder
bei gleicher Anzahl auszuwertender Funktionswerte wie ,
nämlich 13 Stück.
Siehe auch



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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.12. 2021