Mittelwertsatz der Integralrechnung
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung (auch Cauchyscher Mittelwertsatz genannt) ist ein wichtiger Satz der Analysis. Er erlaubt es, Integrale abzuschätzen, ohne den tatsächlichen Wert auszurechnen und liefert einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis.
Aussage
Hier wird das Riemann-Integral betrachtet. Die Aussage lautet:
Sei eine stetige Funktion, sowie integrierbar und entweder oder (d.h. ohne Vorzeichenwechsel). Dann existiert ein , so dass
gilt. Manche Autoren bezeichnen die obige Aussage als erweiterten Mittelwertsatz und die Aussage für als Mittelwertsatz oder ersten Mittelwertsatz. Für bekommt man den wichtigen Spezialfall:
- ,
der sich geometrisch leicht deuten lässt: Die Fläche unter der Kurve zwischen und ist gleich dem Inhalt eines Rechtecks mittlerer Höhe.
Beweis
Sei auf dem Intervall . Der andere Fall kann durch Übergang zu auf diesen zurückgeführt werden. Sind und das Infimum bzw. das Supremum von auf , so folgt aus daher . Mit der Monotonie und Linearität des Riemann-Integrals ergibt sich:
Bezeichne Ist , folgt die Aussage sofort. Für positives gilt
Bezeichnen wir diesen Wert mit , so folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass es ein mit welcher das Gewünschte leistet. Man kann sogar zeigen, dass im Innern des Intervalls gefunden werden kann.
Bedingung an g
Die Bedingung, dass oder gilt, ist wichtig. In der Tat gilt der Mittelwertsatz für Funktionen , die diese Bedingung nicht erfüllen, nicht im Allgemeinen, denn für und ist
- ,
jedoch
- für alle .
Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung
Seien Funktionen, > monoton und stetig. Dann existiert ein , so dass
Im Fall, dass sogar stetig differenzierbar ist, kann man wählen. Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.
Siehe auch
- Integralrechnung #Mittelwerte stetiger Funktionen
- Mittelwert #Mittelwert einer Funktion
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.03. 2020