Linearität

Linearität (lateinisch linea „Linie“, linearis „aus Linien bestehend“) hat in verschiedenen Bereichen eine unterschiedliche Bedeutung, beschreibt aber zumeist eine geradlinige Beschaffenheit.

Linearität in Naturwissenschaft und Technik

Allgemeine Definition

Linearität ist die Eigenschaft eines Systems, auf die Veränderung eines Parameters stets mit einer dazu proportionalen Änderung eines anderen Parameters zu reagieren.

Diese allgemeine Definition trifft gleichermaßen für die Systemtheorie, Technik, Physik und Mathematik zu. Ist sie nicht erfüllt, so spricht man von Nichtlinearität.

Linearität in der Mathematik

Beispiel: Lineare Funktionen

Linearität in der Mathematik lässt sich am einfachsten anhand sogenannter linearer Funktionen erklären. Dies sind spezielle Funktionen, bei denen die Abbildung einer oder mehrerer Größen auf eine andere entsprechend der allgemeinen Definition erfolgt. Linearität ist weiterhin eine Eigenschaft verschiedener mathematischer Transformationen wie z.B. der Z-Transformation oder der kontinuierlichen Fourier-Transformation.

Weiterhin trifft man bei folgenden, mathematischen Themen auf den (dort teilweise verschärften) Begriff der Linearität:

Siehe auch: Proportionalität (als Spezialfall von Linearität)

Linearität bei statistischen Modellen

Die Statistik liefert Methoden, mit deren Hilfe statistische Modelle in lineare und nichtlineare Modelle unterschieden werden können. Die Besonderheit dabei: Lineare Modelle sind in den geschätzten Parametern linear, aber nicht unbedingt in den unabhängigen Variablen. Was ist damit gemeint?

Erklärung: In der Quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 ist nicht die unabhängige Variable x, sondern die Parameter des Modells (hier die Koeffizienten: a,b,c) ausschlaggebend für das Vorliegen von Linearität. Aufgrund dessen kann die multiple lineare Regression zur Parameterabschätzung von "gekrümmten" Modellen verwendet werden.

Siehe auch: Kollinearität

Linearität bei der Methodenvalidierung

Bei der Methodenvalidierung, wie sie z.B. in der analytischen Chemie oder Forensik verwendet wird, ist ein statistischer Test auf Linearität nach Mandel, der sogenannte Mandel-Test (oder Mandel-Anpassungstest) üblich, anhand dessen bestimmt wird, welches Regressionsmodell (lineare oder quadratische Regression) für den vorliegenden Untersuchungsfall anzunehmen ist.

Linearität in Physik und Technik

Gemeinsames

Dem Begriff der Linearität liegt hier eine allgemeine lineare Funktion zwischen reellen Größenwerten zweier physikalischer Größen zu Grunde. Eignen sich zur Beschreibung eines Bauteils (eines Gerätes, einer Einrichtung) oder eines physikalischen Zusammenhangs eine Eingangsgröße x und eine Ausgangsgröße y, und genügen diese Größen der Gleichung

y=m\cdot x+b\quad {\text{mit }}\ m,b={\text{reelle Konstanten,}}

so spricht man von einem linearen Bauteil oder linearem Zusammenhang. Gleichbedeutend mit dieser linearen Funktion ist die Aussage, dass

\frac{\Delta y}{\Delta x}=m=\text{konst}

ist — unabhängig von Größe von \Delta x und vom Arbeitspunkt bzw. Anfangspunkt, ab dem gemeinsam \Delta x und \Delta y zählen. Dieses stimmt mit der oben angegebenen „allgemeinen Definition“ überein.

Im Sonderfall, dass b=0 ist, ist die Eigenschaft durch Proportionalität geprägt. Dann gilt zusätzlich

\frac yx=m=\text{konst .}

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit gleichmäßig geteilten Achsen wird der lineare Zusammenhang zwischen dem Ausgangssignal und dem Eingangssignal durch eine gerade Kennlinie dargestellt. Bei proportionalem Zusammenhang geht diese durch den Koordinatenursprung.

Bei einer stetig gekrümmten Kennlinie kann eine lineare Näherung im Rahmen eines Kleinsignalverhaltens verwendet werden, soweit bei kleinen Werten von |\Delta x| die Abweichung der Kurve von ihrer Tangente (im jeweils gewählten Arbeitspunkt) noch gering ist.

Skalen eines Analogmultimeters (nur die mittlere Skale ist linear geteilt)

Beispiele aus der Messtechnik

Siehe auch: Linearitätsbedingung bei Korrelationskoeffizienten
Typische Übertragungskennlinie eines Feldeffekttransistors

Beispiele aus der Elektrotechnik

Siehe auch: Kleinsignalverhalten

Linearität in der Mechanik

Entsprechend der lateinischen Bedeutung des Wortes linea erfolgt u.a. eine Unterscheidung der Bewegungsrichtung von Körpern danach, ob die Bewegung entlang einer entsprechend ausgeprägten geraden Linie erfolgt (linear) oder nicht (nicht linear). Beispiel: In einem Verbrennungsmotor führt der Hubkolben eine geradlinige Bewegung aus (eine ungleichmäßige Translation) und die mit ihm verbundene Kurbelwelle eine kreisförmige Bewegung (im stationären Zustand eine gleichmäßige Rotation).

Linearität in der Chemie

Bei chemischen Analysen liegt Linearität bei der verwendeten Methode dann vor, wenn in einem bestimmten Konzentrationsbereich das Messsignal direkt proportional zur Analytkonzentration in der Probe ist.

Linearität in der Systemtheorie

In der interdisziplinären Systemtheorie werden lineare und nichtlineare Systeme unterschieden.

Ein System ist dann linear, wenn die beiden folgenden Kriterien erfüllt sind:

  1. Wenn eine Eingangsgröße x zu einer Ausgangsgröße X führt, wird eine Eingangsgröße von 2\cdot x zu einer Ausgangsgröße von 2\cdot X führen. Anders ausgedrückt, die Magnitude (Größenordnung) der Eingangsgröße ist proportional zur Magnitude der Ausgangsgröße des Systems.
  2. Wenn eine Eingangsgröße x zu einer Ausgangsgröße X führt und eine Eingangsgröße y zu einer Ausgangsgröße Y führt, so verursacht eine Eingangsgröße x+y eine Ausgangsgröße X + Y. Anders ausgedrückt, das System behandelt zwei simultane Eingangsgrößen voneinander unabhängig und diese interagieren innerhalb des Systems nicht miteinander.

Weiterhin kennt die Systemtheorie auch noch lineare, zeitinvariante, dynamische Systeme.

Siehe auch: Linearisierung

Linearität in der Ethnosoziologie

Die Ethnosoziologie verwendet die Bezeichnung „Linearität“, um zwischen linearer Verwandtschaft und kollateraler Seitenverwandtschaft zu unterscheiden: Linearität bezeichnet dabei die direkte Abstammung von Eltern, deren Eltern und so weiter, sowie die gesamte eigene Nachkommenschaft (gerade Linie), während Kollateralität die indirekte Verwandtschaft zwischen Geschwistern aller Generationen und deren Nachkommen bezeichnet (Seitenlinie).

Die Linearität von Verwandtschaft spielt eine wichtige Rolle bei unilinearen Abstammungsregeln, die eine einlinige Erbnachfolge festlegen:

Linearität von Texten und Medien

Linearität von Texten beispielsweise in Büchern liegt vor, wenn diese in einer bestimmten, linearen Reihenfolge geschrieben und gelesen werden. Ausprägungen von Linearität bei Texten können sein:

Dieser Linearität des Textes folgt die Bewegungsrichtung der Augen des Autors oder Lesers.

Moderne Medien wie das Internet erlauben mit Hilfe von Hypertext diese Linearität in bestimmten Bereichen aufzubrechen, indem Texte untereinander verlinkt werden und diesen so eine nichtlineare Komponente hinzugefügt wird. Die Linearität einzelner Abschnitte bleibt dabei zwar erhalten, der Leser bestimmt jedoch die Leserichtung durch Auswahl der ihn interessierenden Inhalte anhand der von Autoren gesetzten Hyperlinks und bewegt sich so nichtlinear durch die vorhandenen Medieninhalte. Diese Non-Linearität von Hypertext gilt als wesentliches Element der Hypertext-Theorie.

Linearität in der Musik

In der Musik bezeichnet Linearität ein Verhältnis einer, zweier oder mehrerer Stimmen zueinander im Verhältnis zu den jeweiligen Regeln des Tonsatzes. Dass dies schon mit der Einstimmigkeit beginnt, liegt daran, dass auch dort schon festgelegte Wendungen, sogenannte (Schluss-)Klauseln eingehalten werden, oder eben nicht.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.07. 2021