Lineares zeitinvariantes System

Als ein lineares zeitinvariantes System, auch als LZI-System und LTI-System (englisch linear time-invariant system) wird ein System bezeichnet, wenn sein Verhalten sowohl die Eigenschaft der Linearität aufweist als auch unabhängig von zeitlichen Verschiebungen ist. Diese Unabhängigkeit von zeitlichen Verschiebungen wird als Zeitinvarianz bezeichnet.

Die Bedeutung dieser Systeme liegt darin, dass sie besonders einfache Transformationsgleichungen aufweisen und der Systemanalyse damit leicht zugänglich sind. Viele technische Systeme wie in der Nachrichten- oder Regelungstechnik weisen, zumindest in guter Näherung, diese Eigenschaften auf. Ein System kann in diesem Zusammenhang beispielsweise ein Übertragungssystem sein. Einige LZI-Systeme lassen sich durch lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben.

Eigenschaften

Linearität

Überlagerungsprinzip

→ : Lineares System (Systemtheorie)

Ein System heißt dann linear, wenn jede Summe von beliebig vielen Eingangssignalen $s_{i}(t)$ zu einer dazu proportionalen Summe von Ausgangssignalen $g_{i}(t)$ führt. Es muss damit das Superpositionsprinzip, auch als Überlagerungsprinzip bezeichnet, gelten. Mathematisch wird dies durch eine Transformation ${\mathcal {T}}$ , welche die Übertragungsfunktion des Systems darstellt, zwischen den Eingangs- und Ausgangssignalen beschrieben:

$\sum _{i}a_{i}g_{i}(t)=\sum _{i}a_{i}{\mathcal {T}}\left\{s_{i}(t)\right\}={\mathcal {T}}\left\{\sum _{i}a_{i}s_{i}(t)\right\}$

Die konstanten Koeffizienten $a_{i}$ stellen die einzelnen Proportionalitätsfaktoren dar.

Anschaulich wird dabei am Eingang des Systems ein Signal angelegt und die Reaktion beobachtet. Danach wird davon unabhängig die Reaktion auf ein zweites Signal untersucht. Beim Anlegen eines Eingangssignals, das die Summe aus den beiden zuvor begutachteten Signalen bildet, lässt sich feststellen, dass die Reaktion am Ausgang der Addition der beiden einzelnen Antworten entspricht, wenn das System linear ist.

Zeitinvarianz

Verschiebungsprinzip

→ Hauptartikel: Zeitinvarianz

Ein System heißt dann zeitinvariant, wenn für jede beliebige Zeitverschiebung um t₀ gilt:

${\mathcal {T}}\left\{s(t-t_{0})\right\}=g(t-t_{0})$

Für die Zeitinvarianz muss das Ausgangssignal den Zeitbezug zum Eingangssignal beibehalten und identisch reagieren. Dieses Prinzip wird auch als Verschiebungsprinzip bezeichnet.

Zusammenhang mit Faltungsintegral

Das beliebig verlaufende Eingangssignal s(t) kann durch Anwendung des Superpositionssatzes und der Zeitinvarianz durch eine zeitliche Abfolge von einzelnen Rechteckimpulsen angenähert werden. Im Grenzübergang für einen Rechteckimpuls, dessen Dauer gegen 0 geht, nähert sich das Ausgangssignal einer Form an, welche nur noch von der Übertragungsfunktion des Systems abhängt, aber nicht mehr von dem Verlauf des Eingangssignals.

Mathematisch werden diese gegen die zeitliche Dauer von null strebenden Rechteckimpulse durch Dirac-Impulse $\delta (t)$ beschrieben und die Summen in der Transformationsgleichung gehen in Integrale über. Das Eingangssignal s(t) lässt sich gleichwertig als Faltungsintegral bzw. mit dem Symbol für die Faltungsoperation ausdrücken als:

$s(t)=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}s(\tau )\delta (t-\tau ){\mathrm {d}}\tau =s(t)*\delta (t)$

Das Ausgangssignal g(t) ist über das Faltungsintegral

$g(t)=\int _{{-\infty }}^{{\infty }}s(\tau )h(t-\tau ){\mathrm {d}}\tau =s(t)*h(t)$

mit dem Eingangssignal s(t) verknüpft, wobei h(t) die Übertragungsfunktion des Systems darstellt. Ist das Eingangssignal ein Dirac-Impuls, so wird g(t) auch als Impulsantwort bezeichnet.

Lösung von linearen zeitinvarianten Differentialgleichungen

Gegeben ist ein explizites lineares System von Differentialgleichungen in der Form

${\begin{aligned}{\frac {dx(t)}{dt}}=A\,x(t)+b\,u(t),\,x(t=0)=x_{0}\end{aligned}}$

mit dem Zustandsvektor $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ , der Systemmatrix $A\in \mathbb {R} ^{nxn}$ ,dem Eingang $u(t)\in \mathbb {R}$ , dem Eingangsvektor $b\in \mathbb {R} ^{n}$ und der Angangsbedingung $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ . Die Lösung besteht aus einem homogenen und einem partikulären Anteil.

Homogene Lösung

Man erhält die homogene Differentialgleichung, indem man den Eingang gleich null setzt.

${\begin{aligned}{\frac {dx(t)}{dt}}=A\,x(t),\,x(t=0)=x_{0}\end{aligned}}$

Diese Lösung kann nun durch eine Taylorreihendarstellung beschrieben werden:

${\begin{aligned}x(t)=\phi (t)x_{0}=(E+\phi _{1}t+\phi _{2}t^{2}+...+\phi _{n}t^{n}+...)x_{0}\end{aligned}}$

wobei die Einheitsmatrix ist. Setzt man diese Lösung obere Gleichung ein, erhält man:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(\phi (t)x_{0})&=A\,\phi (t)\,x(t)\,x_{0}\\(\phi _{1}+2\,\phi _{2}\,t+...+n\,\phi _{n}\,t^{n-1}+...)x_{0}&=(A+A\phi _{1}t+A\phi _{2}t^{2}+...+A\phi _{n}t^{n}+...)\,x_{0}\end{aligned}}$

Nun können durch einen Koeffizientenvergleich die unbekannten Matrizen $\phi _{n}$ bestimmt werden:

${\begin{aligned}\phi _{1}&=A\\\phi _{2}&={\frac {1}{2}}A\,\phi _{1}={\frac {1}{2!}}A^{^{2}}\\\phi _{3}&={\frac {1}{3}}A\,\phi _{2}={\frac {1}{3!}}A^{3}\\&...\\\phi _{n}&={\frac {1}{n!}}A^{n}.\end{aligned}}$

Folgende Schreibweise ist für die Fundamentalmatrix $\phi _{n}$ weit verbreitet:

${\begin{aligned}\phi (t)=e^{At}=E+At+{\frac {1}{2!}}A^{2}t^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}t^{3}+...+{\frac {1}{n!}}A^{n}t^{n}+...\end{aligned}}$

Partikuläre Lösung

Ausgehend von $u(t)\neq 0$ und $x_{0}=0$ folgt:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x(t)=A\,x(t)+b\,u(t)\end{aligned}}$

Die partikuläre Lösung sucht man in der Form:

${\begin{aligned}x_{p}(t)=\phi (t)\xi (t)=e^{At}\xi (t),\end{aligned}}$

wobei $\xi (t)$ ein unbekannter Funktionsvektor mit $\xi (0)=0$ ist. Aus den beiden oberen Gleichungen, folgt:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x_{p}(t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\\xi (t){\frac {d}{dt}}\phi (t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\A\,\phi (t)\xi (t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\A\,x_{p}(t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\\end{aligned}}$

Damit kann $\xi (t)$ bestimmt werden:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\xi (t)=\phi ^{-1}(t)bu(t)\\\end{aligned}}$

Man erhält durch Integration unter Zuhilfenahme der Eigenschaften der Fundamentalmatrix:

${\begin{aligned}\phi (t)\xi (t)&=\phi (t)\int _{0}^{t}\phi ^{-1}(\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}\phi (t-\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}$

Die Lösung einer linearen zeitinvarianten Differenzialgleichung lautet:

${\begin{aligned}x(t)=e^{At}x_{0}(t)+\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}$

LZI-Systeme in verschiedenen Formen der Darstellung

Der folgende Teil beschränkt sich auf Systeme mit endlich vielen inneren Freiheitsgraden.

Zeitbereich

Die gebräuchlichste Systemdarstellung im Zeitbereich, die Zustandsraumdarstellung, hat die allgemeine Form

${\begin{matrix}{\dot x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{matrix}}$

Hierin sind die Vektoren Eingangsvektor, Zustandsvektor und Ausgangsvektor. Sind die Matrizen Systemmatrix, Eingangsmatrix, Ausgangsmatrix und Durchgriffsmatrix konstant, so ist das System linear und zeitinvariant. Zur Addition und Multiplikation von Vektoren und Matrizen siehe Matrix (Mathematik).

Bildbereich

Für einfachere Systeme, insbesondere SISO-Systeme (Single Input, Single Output Systeme) mit nur je einer Ein- und Ausgangsgröße, wird auch oft noch die Beschreibung durch eine Übertragungsfunktion ("Bildbereich" oder "Frequenzbereich") gewählt

$G(s)={\frac {Z(s)}{N(s)}}$

Hierin ist das Zählerpolynom in , und das Nennerpolynom in . Sind alle Koeffizienten beider Polynome konstant, ist das System zeitinvariant.

Die Übertragungsfunktion bietet sich zur graphischen Darstellung als Ortskurve oder Bodediagramm an.

Beispiele

Elektrotechnik: Filter-Schaltungen oder Verstärker
Mechanik: Getriebe
Thermodynamik: Zentralheizung, Motorkühlung
Wandler zwischen den zuvor genannten Systemarten: Elektromotor (Strom-Kraft), Temperatursensor (Temperatur-Strom)
Mathematisch (Digitale Simulation): Regler aller Art z.B. PID-Regler

Beispiel aus der Mechanik

Der freie Fall ohne Reibung wird beschrieben durch die Differentialgleichung

$m{\ddot z}=mg$

mit dem Weg , der Beschleunigung an der Erdoberfläche und der Masse des fallenden Gegenstandes . Übertragen in die Zustandsraumdarstellung und unter herauskürzen von erhält man die Zustandsdifferentialgleichung

${\begin{bmatrix}{\ddot z}\\{\dot z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dot z}\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g\end{bmatrix}}$

wobei als (in der Regel konstanter) äußerer Einfluss betrachtet wird, und damit ein (das einzige) Glied des Eingangsvektors bildet. Interessiert man sich naheliegender Weise für die momentane Position und Geschwindigkeit , lautet die Ausgangsgleichung

${\begin{bmatrix}v\\p\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dot z}\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g\end{bmatrix}}$

mit einer 1-Matrix als Ausgangsmatrix und einer Nullmatrix als Durchgriffsmatrix, da die Ausgänge identisch mit den Zuständen sind. In dieser Betrachtung handelt es sich um ein LZI System, da alle Matrizen des linearen Differentialgleichungssystems konstant, also zeitinvariant, sind.

Berücksichtigt man aber, dass die Erdbeschleunigung g abhängig ist vom Abstand der Massenschwerpunkte

$g=G\,{\frac {m_{\mathrm {E} }}{(r_{\mathrm {E} }+z)^{2}}}=G\,{\frac {m_{\mathrm {E} }}{r_{\mathrm {E} }^{2}+2r_{\mathrm {E} }z+z^{2}}}$

mit der Erdmasse $m_\mathrm{E}$ und dem Erdradius $r_\mathrm{E}$ , so ist das System nichtlinear abhängig vom Zustand z, also kein LZI System.

Wird die Erdbeschleunigung aufgrund einer meist sehr viel kleineren Höhe gegenüber dem Erdradius $z\ll r_{\mathrm {E} }$ weiterhin als konstant betrachtet

$g\approx G\,{\frac {m_{\mathrm {E} }}{r_{\mathrm {E} }^{2}}}$

aber die Reibung zwischen betrachteter Masse und Luft als sehr viel einflussreicher in linearer Abhängigkeit von $\dot z$ linear berücksichtigt (siehe auch Fall mit Luftwiderstand#Fall mit Stokes-Reibung), erhält man die Zustandsdifferentialgleichung

${\begin{bmatrix}{\ddot z}\\{\dot z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\beta &0\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dot z}\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g\end{bmatrix}}$

mit dem Reibkoeffizienten $\beta$ . Wird $\beta$ als Formkonstante des fallenden Gegenstandes betrachtet, handelt es sich nach wie vor um ein LZI System.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de