Faltung (Mathematik)
In der Funktionalanalysis,
einem Teilbereich der Mathematik,
beschreibt die Faltung, auch Konvolution (von lateinisch
convolvere
„zusammenrollen“), einen mathematischen Operator,
der für zwei Funktionen
und
eine dritte Funktion
liefert.
Anschaulich bedeutet die Faltung ,
dass jeder Wert von
durch das mit
gewichtete
Mittel der ihn umgebenden Werte ersetzt wird. Genauer wird für den
Mittelwert
der Funktionswert
mit
gewichtet. Die resultierende „Überlagerung“ zwischen
und gespiegelten und verschobenen Versionen von
(man spricht auch von einer „Verschmierung“ von
)
kann z.B. verwendet werden, um einen gleitenden
Durchschnitt zu bilden.
Definition
Faltung für Funktionen auf 
Die Faltung
zweier Funktionen
ist definiert durch
Um die Definition möglichst allgemein zu halten, schränkt man den Raum der
zulässigen Funktionen zunächst nicht ein und fordert stattdessen, dass das
Integral für fast alle Werte von
wohldefiniert ist.
Im Fall ,
also für zwei integrierbare Funktionen
(insbesondere bedeutet das, dass das uneigentliche
Betragsintegral endlich ist), kann
man zeigen, dass diese Voraussetzung immer erfüllt ist.[1]
Faltung periodischer Funktionen
Für periodische
Funktionen
und
einer reellen Variablen mit Periode
definiert man die Faltung als
,
wobei sich die Integration über ein beliebiges Intervall mit Periodenlänge
erstreckt. Es ist
wiederum eine periodische Funktion mit Periode
.
Faltung für Funktionen auf Intervallen
Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs
setzt man
und
auf den gesamten Raum fort, um die Faltung ausführen zu können. Hierzu gibt es
je nach Anwendung mehrere Ansätze.
- Fortsetzung durch Null
- Man setzt die Funktionen per Definition außerhalb des Definitionsbereiches
durch die Nullfunktion
fort:
.
- Periodische Fortsetzung
- Man setzt die Funktionen außerhalb des Definitionsbereiches periodisch fort und verwendet die für periodische Funktionen definierte Faltung.
Im Allgemeinen ist die Faltung für derart fortgesetzte Funktionen nicht mehr
wohldefiniert. Eine oft auftretende Ausnahme bilden stetige Funktionen mit kompaktem
Träger ,
die durch Null zu einer integrierbaren Funktion in
fortsetzbar sind.
Bedeutung

Eine anschauliche Deutung der eindimensionalen Faltung ist die Gewichtung
einer von der Zeit abhängigen Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der
Gewichtsfunktion
an einer Stelle
gibt an, wie stark der um
zurückliegende Wert der gewichteten Funktion, also
,
in den Wert der Ergebnisfunktion zum Zeitpunkt
eingeht.
Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.
Glättungskern
.gif)
Eine Methode, eine Funktion
zu „glätten“,
besteht darin, sie mit einem so genannten Glättungskern
zu falten. Die entstehende Funktion
ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur
etwas größer als der von
,
und die Abweichung in der L1-Norm
lässt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.
Ein -dimensionaler
Glättungskern oder Mollifier ist eine unendlich oft stetig
differenzierbare Funktion
,
die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel
hat und das Integral 1, durch entsprechende Wahl einer Konstanten
,
besitzt.
Ein Beispiel ist der Glättungskern
wobei
eine Normierungskonstante ist.
Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für
setzt:
wobei
für
.
Glättungskerne j und j1/2
Beispiele
Rechteckfunktion
Sei
.
Durch Faltung von
(rot dargestellt) mit dem Glättungskern
entsteht eine glatte Funktion
(blau dargestellt) mit kompaktem Träger, die von f in der
L1-Norm
um etwa 0,4 abweicht, d.h.
.
Bei der Faltung mit
für e kleiner 1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm
noch dichter bei f liegen.
Normalverteilung
Wird eine Normalverteilung
mit dem Mittelwert
und der Standardabweichung
gefaltet mit einer zweiten Normalverteilung mit den Parametern
und
,
so ergibt sich wieder eine Normalverteilung mit dem Mittelwert
und der Standardabweichung
.
Beweis |
---|
Damit lässt sich die Gaußsche
Fehleraddition begründen: Gegeben seien zwei Stäbe mit fehlerbehafteten
Längen
und
.
Will man nun wissen wie lang der zusammengesetzte Stab ist, dann kann man die
beiden Stäbe als zufallsverteilte Ensemble betrachten. Es kann z.B. sein,
dass Stab 1 in Wirklichkeit
lang ist. Dieses Ereignis tritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf, die
man aus der Normalverteilung mit
ablesen kann. Für dieses Ereignis ist dann die Gesamtlänge der beiden Stäbe
normalverteilt und zwar mit der Normalverteilung des 2. Stabes multipliziert mit
der Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Stab
lang ist. Geht man dies für alle Stablängen für Stab 1 durch und addiert die
Verteilungen des zusammengesetzten Stabes, dann entspricht dies der im Beweis
angegebenen Integration, welche äquivalent einer Faltung ist. Der
zusammengesetzte Stab ist also auch normalverteilt und
lang.
Eigenschaften der Faltung
Algebraische Eigenschaften
Die Faltung von -Funktionen
erfüllt zusammen mit der Addition
fast alle Axiome eines kommutativen
Rings mit Ausnahme dessen, dass diese Struktur kein neutrales Element
besitzt. Man spricht scherzhaft auch von einem "Rng", weil das i für "Identität"
fehlt. Im Detail gelten also die folgenden Eigenschaften:
- Assoziativität mit der skalaren Multiplikation
- Wobei
eine beliebige komplexe Zahl ist.
Ableitungsregel
Dabei ist
die distributionelle Ableitung von
.
Falls
(total) differenzierbar ist, so stimmen distributionelle Ableitung und (totale)
Ableitung überein. Zwei interessante Beispiele dazu sind:
, wobei
die Ableitung der Delta-Distribution ist. Die Ableitung lässt sich also als Faltungsoperator auffassen.
, wobei
die Sprungfunktion ist, ergibt eine Stammfunktion für
.
Integration
Sind
und
integrierbare Funktionen, so gilt
Dies ist eine einfache Folgerung aus dem Satz von Fubini.
Faltungstheorem
Mittels der Fouriertransformierten
kann man die Faltung zweier Funktionen als Produkt ihrer Fouriertransformierten ausdrücken:
Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation. Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[2]:
Dabei ist
das punktweise Produkt der beiden Funktionen,
ist also gleichbedeutend mit
an jeder Stelle
.
Spiegelungsoperator
Es sei
der Spiegelungsoperator mit
für alle
,
dann gilt
und
Faltung dualer Lp-Funktionen ist stetig
Sei
und
mit
und
.
Dann ist die Faltung
eine beschränkte
stetige Funktion auf
.
Ist
,
so verschwindet die Faltung im Unendlichen, ist also eine
-Funktion.
Diese Aussage ist ebenfalls richtig, wenn
eine reelle
Hardy-Funktion ist und
in BMO
liegt.
Verallgemeinerte Young’sche Ungleichung
Aus der Hölder’schen Ungleichung folgt die verallgemeinerte Young’sche Ungleichung
für
und
.
Faltung als Integraloperator
Sei ,
dann kann man die Faltung auch als Integraloperator
mit dem Integralkern
auffassen. Das heißt man kann die Faltung als Operator
definiert durch
auffassen. Dies ist ein linearer und kompakter Operator, der außerdem normal ist. Sein adjungierter Operator ist gegeben durch
Außerdem ist
ein Hilbert-Schmidt-Operator.
Diskrete Faltung
In der digitalen Signalverarbeitung und der digitalen Bildverarbeitung hat man es meist mit diskreten Funktionen zu tun, die miteinander gefaltet werden sollen. In diesem Fall tritt an die Stelle des Integrals eine Summe und man spricht von der zeitdiskreten Faltung.
Definition
Seien
Funktionen mit dem diskreten
Definitionsbereich
.
Dann ist die diskrete Faltung definiert durch
.
Der Summationsbereich ist der gesamte Definitionsbereich
beider Funktionen. Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs werden
und
meist durch Nullen fortgesetzt.
Ist der Definitionsbereich endlich, so können die beiden Funktionen auch als
Vektoren ,
respektive
verstanden werden. Die Faltung ist dann gegeben als Matrix-Vektor-Produkt:
mit der Matrix
mit
und
Wenn man die Spalten von
unter und über den
periodisch fortsetzt, statt mit Nullen zu ergänzen, wird
zu einer zyklischen
Matrix, und man erhält die zyklische
Faltung.
Anwendungen
Das Produkt zweier Polynome
und
ist zum Beispiel die diskrete Faltung ihrer mit Nullen fortgesetzten
Koeffizientenfolgen. Die dabei auftretenden unendlichen Reihen
haben stets nur endlich viele Summanden, die ungleich Null sind. Analog
definiert man das Produkt zweier formaler Laurentreihen mit
endlichem Hauptteil.
Ein in Bezug auf die Rechenleistung effizienter Algorithmus für die Berechnung der diskreten Faltung ist die Schnelle Faltung, die sich ihrerseits auf die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation stützt.
Distributionen
Die Faltung wurde von Laurent Schwartz, der als Begründer der Distributionentheorie gilt, auf Distributionen erweitert.
Faltung mit einer Funktion
Eine andere Verallgemeinerung ist die Faltung einer Distribution
mit einer Funktion
.
Diese ist definiert durch
wobei
ein Translations- und Spiegelungsoperator ist, welcher durch
definiert ist.
Faltung zweier Distributionen
Seien
und
zwei Distributionen, wobei eine einen kompakten Träger hat. Dann ist für alle
die Faltung zwischen diesen Distributionen definiert durch
.
Eine weitergehende Aussage stellt sicher, dass es eine eindeutige
Distribution
gibt mit
für alle
.
Algebraische Eigenschaften
Seien ,
und
Distributionen, dann gilt
- Assoziativität mit der skalaren Multiplikation
- Wobei
eine beliebige komplexe Zahl ist.
- Neutrales
Element
, wobei
die Delta-Distribution ist.
Faltungstheorem
Mit
wird die Fourier-Transformation
von Distributionen bezeichnet. Sei nun
eine temperierte
Distribution und
eine Distribution mit kompaktem Träger. Dann ist
und es gilt
.
Topologische Gruppen
Faltung auf topologischen Gruppen
Die beiden Faltungsbegriffe können gemeinsam beschrieben und verallgemeinert werden durch einen allgemeinen Faltungsbegriff für komplexwertige m-integrierbare Funktionen auf einer geeigneten topologischen Gruppe G mit einem Maß m (z.B. einer lokalkompakten hausdorffschen topologischen Gruppe mit einem Haar-Maß):
Dieser Faltungsbegriff spielt eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie dieser Gruppen, deren wichtigste Vertreter die Lie-Gruppen bilden. Die Algebra der integrierbaren Funktionen mit dem Faltungsprodukt ist für kompakte Gruppen das Analogon zum Gruppenring einer endlichen Gruppe. Weiterführende Themen sind:
Die Faltungsalgebra endlicher Gruppen
Für eine endliche
Gruppe
mit
wird die Menge
mit der Addition und der skalaren Multiplikation ein
-Vektorraum,
isomorph zu
Mit der Faltung
wird
dann zu einer Algebra,
genannt die Faltungsalgebra.
Die Faltungsalgebra besitzt eine Basis
indiziert mit den Gruppenelementen
wobei
Mit der Faltung gilt:
Wir definieren eine Abbildung zwischen
und
indem wir für Basiselemente definieren:
und linear fortsetzen. Diese Abbildung ist offensichtlich bijektiv. Man
erkennt an obiger Gleichung für die Faltung zweier Basiselemente aus
dass die Multiplikation in
der in
entspricht. Damit sind die Faltungsalgebra und die Gruppenalgebra als Algebren
isomorph.
Mit der Involution
wird
zu einer
-Algebra.
Es gilt
Eine Darstellung
einer Gruppe
setzt fort zu einem
-Algebrenhomomorphismus
durch
Da
als
-Algebrenhomomorphismus
insbesondere multiplikativ ist, erhalten wir
Falls
unitär ist, gilt außerdem
Die Definition einer unitären Darstellung findet sich im Kapitel Eigenschaften.
Dort wird auch gezeigt, dass wir eine lineare Darstellung ohne Einschränkung als
unitär annehmen können.
Im Rahmen der Faltungsalgebra kann man auf Gruppen eine Fouriertransformation
durchführen. In der Harmonischen
Analyse wird gezeigt, dass diese Definition mit der Definition der
Fouriertransformation auf
konsistent ist.
Sei
eine Darstellung,
dann definiert man die Fouriertransformierte
durch die Formel
Es gilt dann
Anwendung
- In der Optik können verschiedenste Bildstörungen als Faltung des Originalbildes mit einem entsprechenden Kern modelliert werden. In der digitalen Bildbearbeitung wird die Faltung daher benutzt, um solche Effekte zu simulieren. Auch andere digitale Effekte beruhen auf der Faltung. Bei der Richtungsbestimmung von Bildkanten sind 3×3- und 5×5-Faltungen essentiell.
- Bei einem linearen, zeitinvarianten Übertragungsglied ergibt sich die Antwort auf eine Anregung durch Faltung der Anregungsfunktion mit der Impulsantwort des Übertragungsglieds. Beispielsweise stellt die lineare Filterung eines elektronischen Signals die Faltung der Original-Funktion mit der Impulsantwort dar.
- Faltungen werden genutzt, um spezielle Lösungen bestimmter partieller
Differentialgleichungen zu konstruieren. Ist
die Fundamentallösung des partiellen Differentialoperators
, so ist
eine Lösung der partiellen Differentialgleichung
.
- Diffusions-Prozesse lassen sich durch die Faltung beschreiben.
- Wenn
und
zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit den Wahrscheinlichkeitsdichten
und
sind, dann ist die Dichte der Summe
gleich der Faltung
.
- In der Akustik (Musik) wird die Faltung (unter Zuhilfenahme der FFT = schnelle Fouriertransformation) auch zur digitalen Erzeugung von Hall und Echos und zur Anpassung von Klangeigenschaften verwendet. Dazu wird die Impulsantwort des Raumes, dessen Klangcharakteristik man übernehmen möchte, mit dem Signal, das man beeinflussen möchte, gefaltet.
- In der Ingenieurmathematik und der Signalverarbeitung werden Eingangssignale (äußere Einflüsse) mit der Impulsantwort (Reaktion des betrachteten Systems auf einen Diracimpuls als Signaleingang, auch Gewichtsfunktion) gefaltet, um die Antwort eines LTI-Systems auf beliebige Eingangssignale zu berechnen. Die Impulsantwort ist nicht zu verwechseln mit der Sprungantwort. Erstere beschreibt die Gesamtheit aus System und einem Dirac-Impuls als Eingangs-Testfunktion, letztere die Gesamtheit aus System und einer Sprungfunktion als Eingangs-Testfunktion. Die Berechnungen finden meist nicht im Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich statt. Dazu müssen sowohl vom Signal als auch von der das Systemverhalten beschreibenden Impulsantwort Spektralfunktionen im Frequenzbereich vorliegen, oder ggf. aus dem Zeitbereich per Fouriertransformation oder einseitiger Laplacetransformation dorthin transformiert werden. Die entsprechende Spektralfunktion der Impulsantwort wird Frequenzgang oder Übertragungsfunktion genannt.
- In der numerischen
Mathematik erhält man durch Faltung der Boxfunktion
mit
die B-SplineBasisfunktion
für den Vektorraum der stückweisen Polynome vom Grad k.
- In der Computeralgebra
kann die Faltung für eine effiziente Berechnung der Multiplikation
vielstelliger Zahlen eingesetzt werden, da die Multiplikation im Wesentlichen
eine Faltung mit nachfolgendem Übertrag darstellt. Die Komplexität
dieses Vorgehens ist mit
nahe linear, während das „Schulverfahren“ quadratischen Aufwand
hat, wobei
die Zahl der Stellen ist. Dies lohnt sich trotz des zusätzlichen Aufwands, der hierbei für die Fouriertransformation (und deren Umkehrung) erforderlich ist.
- In der Hydrologie verwendet man die Faltung, um den durch ein Niederschlags-Abfluss-Ereignis produzierten Abfluss in einem Einzugsgebiet bei vorgegebener Menge und Dauer des Niederschlages zu berechnen. Dazu wird der sogenannte „Unit-Hydrograph“ (Einheits- Abflussganglinie) – die Abflussganglinie auf einen Einheitsniederschlag von vorgegebener Dauer – mit der zeitlichen Funktion des Niederschlages gefaltet.
- In der Reflexionsseismik wird eine seismische Spur als Faltung von Impedanzkontrasten der geologischen Schichtgrenzen und dem Ausgangssignal (Wavelet) betrachtet. Der Vorgang zur Wiederherstellung der unverzerrten Schichtgrenzen im Seismogramm ist die Dekonvolution.
Literatur
- N. Bourbaki: Integration. Springer, Berlin u.a. 2004, ISBN 3-540-41129-1.
- Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, Berlin u.a. 1995, ISBN 3-540-58654-7.
Anmerkungen
- ↑
Allgemeiner kann auch
für ein
und
vorausgesetzt werden. Vgl. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Abschnitt 7.1.
- ↑ Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten. Z.B. wie in Fouriertransformation für Fußgänger, Tilman Butz, Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53,
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 25.01. 2022