Faltung (Mathematik)

In der Funktionalanalysis, einem Teilbereich der Mathematik, beschreibt die Faltung, auch Konvolution (von lateinisch convolvere „zusammenrollen“), einen mathematischen Operator, der für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion f \ast g liefert.

Anschaulich bedeutet die Faltung f \ast g, dass jeder Wert von f durch das mit g gewichtete Mittel der ihn umgebenden Werte ersetzt wird. Genauer wird für den Mittelwert {\displaystyle (f\ast g)(x)} der Funktionswert f(\tau ) mit g(x-\tau ) gewichtet. Die resultierende „Überlagerung“ zwischen f und gespiegelten und verschobenen Versionen von g (man spricht auch von einer „Verschmierung“ von f) kann z.B. verwendet werden, um einen gleitenden Durchschnitt zu bilden.

Definition

Faltung für Funktionen auf \mathbb {R} ^{n}

Die Faltung f \ast g zweier Funktionen {\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} } ist definiert durch

(f*g)(x):=\int _{{\mathbb{R} ^{n}}}f(\tau )g(x-\tau ){\mathrm  {d}}\tau

Um die Definition möglichst allgemein zu halten, schränkt man den Raum der zulässigen Funktionen zunächst nicht ein und fordert stattdessen, dass das Integral für fast alle Werte von x wohldefiniert ist.

Im Fall f,g\in {\mathcal  {L}}^{1}(\mathbb{R} ^{n}), also für zwei integrierbare Funktionen (insbesondere bedeutet das, dass das uneigentliche Betragsintegral endlich ist), kann man zeigen, dass diese Voraussetzung immer erfüllt ist.[1]

Faltung periodischer Funktionen

Für periodische Funktionen f und g einer reellen Variablen mit Periode T > 0 definiert man die Faltung als

{\displaystyle (f\ast g)(t)={\frac {1}{T}}\int _{a}^{a+T}f(\tau )g(t-\tau )\mathrm {d} \tau },

wobei sich die Integration über ein beliebiges Intervall mit Periodenlänge T erstreckt. Es ist f \ast g wiederum eine periodische Funktion mit Periode T.

Faltung für Funktionen auf Intervallen

Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs \mathbb {D} setzt man f und g auf den gesamten Raum fort, um die Faltung ausführen zu können. Hierzu gibt es je nach Anwendung mehrere Ansätze.

Fortsetzung durch Null
Man setzt die Funktionen per Definition außerhalb des Definitionsbereiches durch die Nullfunktion fort: f{\Big |}_{{\mathbb{R} ^{n}\setminus {\mathbb  {D}}}}\equiv 0.
Periodische Fortsetzung
Man setzt die Funktionen außerhalb des Definitionsbereiches periodisch fort und verwendet die für periodische Funktionen definierte Faltung.

Im Allgemeinen ist die Faltung für derart fortgesetzte Funktionen nicht mehr wohldefiniert. Eine oft auftretende Ausnahme bilden stetige Funktionen mit kompaktem Träger f\in C_{c}({\mathbb  {D}})\cap {\mathcal  {L}}^{1}({\mathbb  {D}}), die durch Null zu einer integrierbaren Funktion in {\mathcal  {L}}^{1}(\mathbb{R} ^{n}) fortsetzbar sind.

Bedeutung

Faltung der Rechteckfunktion mit sich selbst ergibt die Dreiecksfunktion.

Eine anschauliche Deutung der eindimensionalen Faltung ist die Gewichtung einer von der Zeit abhängigen Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der Gewichtsfunktion f an einer Stelle \tau gibt an, wie stark der um \tau zurückliegende Wert der gewichteten Funktion, also g(t-\tau ), in den Wert der Ergebnisfunktion zum Zeitpunkt t eingeht.

Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.

 

Glättungskern

Faltung mit der Gauß-Funktion.

Eine Methode, eine Funktion f zu „glätten“, besteht darin, sie mit einem so genannten Glättungskern j zu falten. Die entstehende Funktion {\displaystyle F=j*f} ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur etwas größer als der von f, und die Abweichung in der L1-Norm lässt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.

Ein d-dimensionaler Glättungskern oder Mollifier ist eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion {\displaystyle j\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} _{\geq 0}}, die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel {\displaystyle B(0,1)} hat und das Integral 1, durch entsprechende Wahl einer Konstanten c, besitzt.

Ein Beispiel ist der Glättungskern

{\displaystyle j(x)={\begin{cases}c\cdot \exp \!\left(-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}\right),&|x|<1\\0,&{\text{sonst.}}\end{cases}}}

wobei {\displaystyle c=\left[\int _{B(0,1)}\exp \!\left(-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}\right)dx\right]^{-1}<\infty } eine Normierungskonstante ist.

Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für e\in (0,1] setzt:

j_{e}(x)={\frac  {1}{e^{d}}}\cdot j\left({\frac  {x}{e}}\right), wobei j_{e}(x)=0 für |x|>e.

Glaettungskerne j und j_1/2
Glättungskerne j und j1/2

Beispiele

Rechteckfunktion

Sei

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,\;x\mapsto {\begin{cases}1&-1\leq x\leq 2\\0&{\mathrm  {sonst}}\end{cases}}.

Durch Faltung von f (rot dargestellt) mit dem Glättungskern j_{{1/2}} entsteht eine glatte Funktion F=f*j_{{1/2}} (blau dargestellt) mit kompaktem Träger, die von f in der L1-Norm um etwa 0,4 abweicht, d.h.

\int _{{-\infty }}^{{\infty }}|F(t)-f(t)|{\mathrm  {d}}t<0{,}4.

Glaettung durch Faltung

Bei der Faltung mit j_{e} für e kleiner 1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm noch dichter bei f liegen.

Normalverteilung

Wird eine Normalverteilung mit dem Mittelwert \mu _{1} und der Standardabweichung \sigma _{1} gefaltet mit einer zweiten Normalverteilung mit den Parametern \mu _{2} und \sigma _{2}, so ergibt sich wieder eine Normalverteilung mit dem Mittelwert {\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}} und der Standardabweichung {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}.

Beweis
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{1}}}e^{-{\frac {(\mathbf {\xi } -\mu _{1})^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{2}}}e^{-{\frac {(x-\mathbf {\xi } -\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}}\mathbf {\mathrm {d} \xi } }{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\mathbf {\xi } ^{2}+\mu _{1}^{2}-2\mathbf {\xi } \mu _{1}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {\mathbf {\xi } ^{2}+(x-\mu _{2})^{2}-2\mathbf {\xi } (x-\mu _{2})}{2\sigma _{2}^{2}}}}\mathbf {\mathrm {d} \xi } }
{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}e^{-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {(x-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\mathbf {\xi } ^{2}\sigma _{2}^{2}-2\mathbf {\xi } \mu _{1}\sigma _{2}^{2}+\mathbf {\xi } ^{2}\sigma _{1}^{2}-2\mathbf {\xi } (x-\mu _{2})\sigma _{1}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}}}}\mathbf {\mathrm {d} \xi } }{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}e^{-{\frac {\mu _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}+(x-\mu _{2})^{2}\sigma _{1}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}}}\left[\left(\mathbf {\xi } -{\frac {\mu _{1}\sigma _{2}^{2}+(x-\mu _{2})\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {\mu _{1}\sigma _{2}^{2}+(x-\mu _{2})\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}\right)^{2}\right]}\mathbf {\mathrm {d} \xi } }{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}e^{-{\frac {\mu _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}+(x-\mu _{2})^{2}\sigma _{1}^{2}-{\frac {\left(\mu _{1}\sigma _{2}^{2}+(x-\mu _{2})\sigma _{1}^{2}\right)^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}{2\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\left(\mathbf {\xi } -{\frac {\mu _{1}\sigma _{2}^{2}+(x-\mu _{2})\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}\right)^{2}}{2{\frac {\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}}}\mathbf {\mathrm {d} \xi } }{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}e^{-{\frac {{\cancel {\mu _{1}^{2}\sigma _{2}^{4}}}+\mu _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}+{{\cancel {(x-\mu _{2})^{2}\sigma _{1}^{4}}}+(x-\mu _{2})^{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-\left({\cancel {\mu _{1}^{2}\sigma _{2}^{4}}}+{\cancel {(x-\mu _{2})^{2}\sigma _{1}^{4}}}+2\mu _{1}\sigma _{2}^{2}(x-\mu _{2})\sigma _{1}^{2}\right)}}{2\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}{\sqrt {2\pi }}{\frac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}}{\displaystyle ={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}}e^{-{\frac {\mu _{1}^{2}+(x-\mu _{2})^{2}-2\mu _{1}(x-\mu _{2})}{2(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}
{\displaystyle ={\underline {\underline {{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}}e^{-{\frac {\left[x-(\mu _{1}+\mu _{2})\right]^{2}}{2{\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}^{2}}}}}}}}

Damit lässt sich die Gaußsche Fehleraddition begründen: Gegeben seien zwei Stäbe mit fehlerbehafteten Längen {\displaystyle L_{1}=\left(1\pm 0{,}03\right)\,\mathrm {m} } und {\displaystyle L_{2}=\left(2\pm 0{,}04\right)\,\mathrm {m} }. Will man nun wissen wie lang der zusammengesetzte Stab ist, dann kann man die beiden Stäbe als zufallsverteilte Ensemble betrachten. Es kann z.B. sein, dass Stab 1 in Wirklichkeit {\displaystyle 1{,}01\,\mathrm {m} } lang ist. Dieses Ereignis tritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf, die man aus der Normalverteilung mit {\displaystyle \mu _{1}=1\,\mathrm {m} ,\sigma _{1}=0{,}03\,\mathrm {m} } ablesen kann. Für dieses Ereignis ist dann die Gesamtlänge der beiden Stäbe normalverteilt und zwar mit der Normalverteilung des 2. Stabes multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Stab {\displaystyle 1{,}01\,\mathrm {m} } lang ist. Geht man dies für alle Stablängen für Stab 1 durch und addiert die Verteilungen des zusammengesetzten Stabes, dann entspricht dies der im Beweis angegebenen Integration, welche äquivalent einer Faltung ist. Der zusammengesetzte Stab ist also auch normalverteilt und {\displaystyle L=\left(3\pm 0{,}05\right)\,\mathrm {m} } lang.

Eigenschaften der Faltung

Algebraische Eigenschaften

Die Faltung von L^1(\R^n)-Funktionen erfüllt zusammen mit der Addition fast alle Axiome eines kommutativen Rings mit Ausnahme dessen, dass diese Struktur kein neutrales Element besitzt. Man spricht scherzhaft auch von einem "Rng", weil das i für "Identität" fehlt. Im Detail gelten also die folgenden Eigenschaften:

{\displaystyle f\ast g=g\ast f}
{\displaystyle f\ast (g\ast h)=(f\ast g)\ast h}
{\displaystyle f\ast (g+h)=(f\ast g)+(f\ast h)}
{\displaystyle a(f\ast g)=(af)\ast g=f\ast (ag)}
Wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

Ableitungsregel

{\displaystyle \mathrm {D} (f\ast g)=(\mathrm {D} f)\ast g=f\ast \mathrm {D} g}

Dabei ist {\mathrm  {D}}f die distributionelle Ableitung von f. Falls f (total) differenzierbar ist, so stimmen distributionelle Ableitung und (totale) Ableitung überein. Zwei interessante Beispiele dazu sind:

Integration

Sind f und g integrierbare Funktionen, so gilt

\int _{{{\mathbb  {R}}^{n}}}(f*g)(x)dx=\left(\int _{{{\mathbb  {R}}^{n}}}f(x)dx\right)\left(\int _{{{\mathbb  {R}}^{n}}}g(x)dx\right).

Dies ist eine einfache Folgerung aus dem Satz von Fubini.

Faltungstheorem

Mittels der Fouriertransformierten


\mathcal{F}(f)(t)
  = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}}
      \int_{\R^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x,\quad
f\in L^1(\mathbb{R}^n)

kann man die Faltung zweier Funktionen als Produkt ihrer Fouriertransformierten ausdrücken:

{\mathcal  {F}}(f*g)=(2\pi )^{{{\tfrac  {n}{2}}}}\,{\mathcal  {F}}(f)\cdot {\mathcal  {F}}(g),\quad f,g\in L^{1}({\mathbb  {R}}^{n})

Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation. Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[2]:

\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(g) = (2 \pi)^{\tfrac{n}{2}} \mathcal{F}(f\cdot g)

Dabei ist \cdot das punktweise Produkt der beiden Funktionen, {\displaystyle f=g\cdot h} ist also gleichbedeutend mit {\displaystyle f(x)=g(x)\cdot h(x)} an jeder Stelle x.

Spiegelungsoperator

Es sei S der Spiegelungsoperator mit Sf(t)=f(-t) für alle t, dann gilt

Faltung dualer Lp-Funktionen ist stetig

Sei f \in L^p(\R^n) und g\in L^{{q}}(\mathbb{R} ^{n}) mit 1\leq p,q\leq \infty und \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1. Dann ist die Faltung f*g eine beschränkte stetige Funktion auf \mathbb {R} ^{n}. Ist p\neq \infty \neq q, so verschwindet die Faltung im Unendlichen, ist also eine C_{0}-Funktion. Diese Aussage ist ebenfalls richtig, wenn f eine reelle Hardy-Funktion ist und g in BMO liegt.

Verallgemeinerte Young’sche Ungleichung

Aus der Hölder’schen Ungleichung folgt die verallgemeinerte Young’sche Ungleichung

\|f*g\|_{{L^{r}}}\leq \|f\|_{{L^{p}}}\|g\|_{{L^{q}}}

für {\tfrac  {1}{p}}+{\tfrac  {1}{q}}=1+{\tfrac  {1}{r}} und p,q,r\geq 1.

Faltung als Integraloperator

Sei h\in L^{2}([0,2\pi ]), dann kann man die Faltung auch als Integraloperator mit dem Integralkern h auffassen. Das heißt man kann die Faltung als Operator T_{h}\colon L^{2}([0,2\pi ])\to L^{2}([0,2\pi ]) definiert durch

T_{h}f(s):={\frac  {1}{2\pi }}\int _{{[0,2\pi ]}}f(t)h(s-t){\mathrm  {d}}t

auffassen. Dies ist ein linearer und kompakter Operator, der außerdem normal ist. Sein adjungierter Operator ist gegeben durch

T_{h}^{*}f(s)={\frac  {1}{2\pi }}\int _{{[0,2\pi ]}}f(t)\overline {h(t-s)}{\mathrm  {d}}t\,.

Außerdem ist T_h ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Diskrete Faltung

In der digitalen Signalverarbeitung und der digitalen Bildverarbeitung hat man es meist mit diskreten Funktionen zu tun, die miteinander gefaltet werden sollen. In diesem Fall tritt an die Stelle des Integrals eine Summe und man spricht von der zeitdiskreten Faltung.

Definition

Seien {\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {C} } Funktionen mit dem diskreten Definitionsbereich {\displaystyle D\subseteq \mathbb {Z} }. Dann ist die diskrete Faltung definiert durch

(f*g)(n)=\sum _{{k\in D}}f(k)g(n-k).

Der Summationsbereich ist der gesamte Definitionsbereich D beider Funktionen. Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs werden f und g meist durch Nullen fortgesetzt.

Ist der Definitionsbereich endlich, so können die beiden Funktionen auch als Vektoren {\displaystyle {\vec {f}}\in \mathbb {C} ^{n_{f}}}, respektive {\displaystyle {\vec {g}}\in \mathbb {C} ^{n_{g}}} verstanden werden. Die Faltung ist dann gegeben als Matrix-Vektor-Produkt:

(f*g)(n)={\mathbf  {G}}{\vec  f}

mit der Matrix

{\mathbf  {G}}={\begin{bmatrix}{\vec  g}&0&0&\cdots &0\\0&{\vec  g}&0&\cdots &0\\\vdots &0&{\vec  g}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &{\vec  g}\end{bmatrix}}

mit {\mathbf  {G}}\in m\times n_{f} und m=n_{f}+n_{g}-1.

Wenn man die Spalten von \mathbf {G} unter und über den {\vec {g}} periodisch fortsetzt, statt mit Nullen zu ergänzen, wird \mathbf {G} zu einer zyklischen Matrix, und man erhält die zyklische Faltung.

Anwendungen

Das Produkt zweier Polynome f und g ist zum Beispiel die diskrete Faltung ihrer mit Nullen fortgesetzten Koeffizientenfolgen. Die dabei auftretenden unendlichen Reihen haben stets nur endlich viele Summanden, die ungleich Null sind. Analog definiert man das Produkt zweier formaler Laurentreihen mit endlichem Hauptteil.

Ein in Bezug auf die Rechenleistung effizienter Algorithmus für die Berechnung der diskreten Faltung ist die Schnelle Faltung, die sich ihrerseits auf die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation stützt.

Distributionen

Die Faltung wurde von Laurent Schwartz, der als Begründer der Distributionentheorie gilt, auf Distributionen erweitert.

Faltung mit einer Funktion

Eine andere Verallgemeinerung ist die Faltung einer Distribution T mit einer Funktion \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R} ^{n}). Diese ist definiert durch

(T*\varphi )(x):=T(\tau _{x}\varphi )=T(\varphi (x-\cdot )),

wobei \tau _{x} ein Translations- und Spiegelungsoperator ist, welcher durch \tau _{x}\phi (y)=\phi (x-y) definiert ist.

Faltung zweier Distributionen

Seien u_{1} und u_{2} zwei Distributionen, wobei eine einen kompakten Träger hat. Dann ist für alle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R} ^{n}) die Faltung zwischen diesen Distributionen definiert durch

(u_{1}*u_{2})*\varphi =u_{1}*(u_{2}*\varphi ).

Eine weitergehende Aussage stellt sicher, dass es eine eindeutige Distribution u\in {\mathcal  {D}}' gibt mit

u_{1}*(u_{2}*\varphi )=u*\varphi

für alle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb{R} ^{n}) .

Algebraische Eigenschaften

Seien u_{1}, u_{2} und u_3 Distributionen, dann gilt

u_{1}*u_{2}=u_{2}*u_{1}\,
u_{1}*(u_{2}+u_{3})=(u_{1}*u_{2})+(u_{1}*u_{3})\,
a(u_{1}*u_{2})=(au_{1})*u_{2}=u_{1}*(au_{2})\,
Wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

Faltungstheorem

Mit {\mathcal {F}} wird die Fourier-Transformation von Distributionen bezeichnet. Sei nun u_{1}\in S'(\mathbb{R} ^{n}) eine temperierte Distribution und u_{2}\in {\mathcal  {E'}}(\mathbb{R} ^{n}) eine Distribution mit kompaktem Träger. Dann ist u_{1}*u_{2}\in S'(\mathbb{R} ^{n}) und es gilt

{\mathcal  {F}}(u_{1}*u_{2})=(2\pi )^{{{\tfrac  {n}{2}}}}{\mathcal  {F}}(u_{1})\cdot {\mathcal  {F}}(u_{2}).

Topologische Gruppen

Faltung auf topologischen Gruppen

Die beiden Faltungsbegriffe können gemeinsam beschrieben und verallgemeinert werden durch einen allgemeinen Faltungsbegriff für komplexwertige m-integrierbare Funktionen auf einer geeigneten topologischen Gruppe G mit einem Maß m (z.B. einer lokalkompakten hausdorffschen topologischen Gruppe mit einem Haar-Maß):

(f*g)(x)=\int _{G}f(t)g(xt^{{-1}}){\mathrm  {d}}m(t)\,

Dieser Faltungsbegriff spielt eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie dieser Gruppen, deren wichtigste Vertreter die Lie-Gruppen bilden. Die Algebra der integrierbaren Funktionen mit dem Faltungsprodukt ist für kompakte Gruppen das Analogon zum Gruppenring einer endlichen Gruppe. Weiterführende Themen sind:

Die Faltungsalgebra endlicher Gruppen

Für eine endliche Gruppe G mit {\displaystyle g:={\text{ord}}(G),} wird die Menge {\displaystyle L^{1}(G):=\{f\colon G\to \mathbb {C} \}} mit der Addition und der skalaren Multiplikation ein \mathbb {C} -Vektorraum, isomorph zu {\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{g}.} Mit der Faltung {\displaystyle \textstyle f*h(s)=\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}s)} wird {\displaystyle \textstyle L^{1}(G)} dann zu einer Algebra, genannt die Faltungsalgebra.
Die Faltungsalgebra besitzt eine Basis indiziert mit den Gruppenelementen {\displaystyle (\delta _{s})_{s\in G},} wobei

{\displaystyle \delta _{s}(t)={\begin{cases}1\,\,\,\,\,{\text{falls  }}\,\,\,t=s\\0\,\,\,\,\,{\text{sonst}}\end{cases}}.}

Mit der Faltung gilt: {\displaystyle \delta _{s}*\delta _{t}=\delta _{st}.}
Wir definieren eine Abbildung zwischen L^1(G) und {\displaystyle \mathbb {C} [G],} indem wir für Basiselemente definieren: {\displaystyle \delta _{s}\mapsto e_{s}} und linear fortsetzen. Diese Abbildung ist offensichtlich bijektiv. Man erkennt an obiger Gleichung für die Faltung zweier Basiselemente aus {\displaystyle L^{1}(G),} dass die Multiplikation in L^1(G) der in {\displaystyle \mathbb {C} [G]} entspricht. Damit sind die Faltungsalgebra und die Gruppenalgebra als Algebren isomorph.

Mit der Involution {\displaystyle \textstyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}} wird {\displaystyle \textstyle L^{1}(G)} zu einer ^{*}-Algebra. Es gilt {\displaystyle \delta _{s}^{*}=\delta _{s^{-1}}.}
Eine Darstellung {\displaystyle (\pi ,V_{\pi })} einer Gruppe G setzt fort zu einem ^{*}-Algebrenhomomorphismus {\displaystyle \pi \colon L^{1}(G)\to {\text{End}}(V_{\pi })} durch {\displaystyle \pi (\delta _{s})=\pi (s).}
Da \pi als ^{*}-Algebrenhomomorphismus insbesondere multiplikativ ist, erhalten wir {\displaystyle \pi (f*h)=\pi (f)\pi (h).} Falls \pi unitär ist, gilt außerdem {\displaystyle \pi (f)^{*}=\pi (f^{*}).} Die Definition einer unitären Darstellung findet sich im Kapitel Eigenschaften. Dort wird auch gezeigt, dass wir eine lineare Darstellung ohne Einschränkung als unitär annehmen können.

Im Rahmen der Faltungsalgebra kann man auf Gruppen eine Fouriertransformation durchführen. In der Harmonischen Analyse wird gezeigt, dass diese Definition mit der Definition der Fouriertransformation auf \mathbb {R} konsistent ist.
Sei {\displaystyle \rho \colon G\to {\text{GL}}(V_{\rho })} eine Darstellung, {\displaystyle f\in L^{1}(G),} dann definiert man die Fouriertransformierte {\displaystyle {\hat {f}}(\rho )\in {\text{End}}(V_{\rho })} durch die Formel

{\displaystyle {\hat {f}}(\rho )=\sum _{s\in G}f(s)\rho (s).}

Es gilt dann {\displaystyle {\widehat {f*g}}(\rho )={\hat {f}}(\rho )\cdot {\hat {g}}(\rho ).}

Anwendung

Literatur

Anmerkungen

  1. Allgemeiner kann auch f\in {\mathcal  {L}}^{p}(\mathbb{R} ^{n}) für ein p\in [1;\infty ] und g\in {\mathcal  {L}}^{1}(\mathbb{R} ^{n}) vorausgesetzt werden. Vgl. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Abschnitt 7.1.
  2. Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten. Z.B. wie in Fouriertransformation für Fußgänger, Tilman Butz, Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53,
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.02. 2021