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Hardy-Raum

In der Funktionentheorie ist ein Hardy-Raum H^p ein Funktionenraum holomorpher Funktionen auf bestimmten Teilmengen von \mathbb {C} . Hardy-Räume sind die Entsprechungen der L^{p}-Räume in der Funktionalanalysis. Sie werden nach Godfrey Harold Hardy benannt, der sie 1914 einführte.

Definition

Üblicherweise werden zwei Klassen von Hardy-Räumen definiert, abhängig von dem Gebiet D\subset {\mathbb  {C}} in der komplexen Ebene, auf dem ihre Funktionen definiert sind.

Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe

Sei {\mathbb  {D}}=\{z\in {\mathbb  {C}}:|z|<1\} die Einheitskreisscheibe in \mathbb {C} . Dann besteht für p>0 der Hardy-Raum H^{p}({\mathbb  {D}}) aus allen holomorphen Funktionen F:{\mathbb  {D}}\to {\mathbb  {C}}, für die gilt

\sup _{{0<r<1}}\left({\frac  {1}{2\pi }}\int _{0}^{{2\pi }}\left|F(re^{{i\theta }})\right|^{p}\;{{\rm {d}}}\theta \right)^{{1/p}}<\infty .

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als „H^p-Norm“ von F bezeichnet, in Symbolen \|F\|_{{H^{p}}}.

Für p=\infty setzt man \textstyle \|F\|_{{H^{\infty }({\mathbb  {D}})}}=\sup _{{z\in {\mathbb  {D}}}}|F(z)| und definiert H^{\infty }({\mathbb  {D}}) als Raum aller holomorphen Funktionen F:{\mathbb  {D}}\to {\mathbb  {C}}, für die dieser Wert endlich ist.

Hardy-Räume auf der oberen Halbebene

Sei {\mathbb  {H}}=\{x+iy\in {\mathbb  {C}}:y>0\} die obere Halbebene in \mathbb {C} . Dann besteht für p>0 der Hardy-Raum H^{p}({\mathbb  {H}}) aus allen holomorphen Funktionen F:{\mathbb  {H}}\to {\mathbb  {C}}, für die gilt

\sup _{{y>0}}\left(\int _{0}^{{\infty }}\left|F(x+iy)\right|^{p}\;{{\rm {d}}}x\right)^{{1/p}}<\infty .

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als „H^p-Norm“ von F bezeichnet, in Symbolen \|F\|_{{H^{p}({\mathbb  {H}})}}.

Für p=\infty setzt man \textstyle \|F\|_{{H^{\infty }({\mathbb  {H}})}}=\sup _{{z\in {\mathbb  {H}}}}|F(z)| und definiert H^{\infty }({\mathbb  {H}}) als Raum aller holomorphen Funktionen F:{\mathbb  {H}}\to {\mathbb  {C}}, für die dieser Wert endlich ist.

Wenn allgemein von Hardy-Räumen H^p die Rede ist, ist in der Regel klar, welche der beiden Klassen gemeint ist (also ob D={\mathbb  {D}} oder D={\mathbb  {H}}); üblicherweise ist es der Raum H^{p}({\mathbb  {D}}) von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe \mathbb {D} .

Faktorisierung

Für p\geq 1 kann jede Funktion f\in H^{p} als Produkt f=Gh geschrieben werden, worin G eine äußere Funktion und h eine innere Funktion ist.

Für H^{p}=H^{p}({\mathbb  {D}}) auf der Einheitsscheibe beispielsweise ist h eine innere Funktion genau dann, wenn |h(z)|\leq 1 auf der Einheitskreisscheibe gilt und der Grenzwert

\lim _{{r\rightarrow 1^{-}}}h(re^{{i\theta }})

für fast alle \theta existiert und sein absoluter Betrag gleich 1 ist. G ist eine äußere Funktion, wenn

G(z)=\exp \left(i\phi +{\frac  {1}{2\pi }}\int _{0}^{{2\pi }}{\frac  {e^{{i\theta }}+z}{e^{{i\theta }}-z}}g(e^{{i\theta }}){{\rm {d}}}\theta \right)

für einen reellen Wert \phi und eine reellwertige und auf dem Einheitskreis integrable Funktion g.

Weitere Eigenschaften

Reelle Hardy-Räume

Aus den Hardy-Räumen der oberen Halbebene entwickelten Elias Stein und Guido Weiss die Theorie der reellen Hardy-Räume {\mathcal  {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n}).

Definition

Sei \phi \in S eine Schwartz-Funktion auf \mathbb {R} ^{n} und \phi _{t}(x)=t^{{-n}}\phi (t^{{-1}}x) für t > 0 eine Dirac-Folge. Sei f\in S' eine temperierte Distribution, so sind die radiale Maximalfunktion m_{\phi }(f) und die nicht-tangentiale Maximalfunktion M_{\phi }(f) definiert durch

{\begin{aligned}m_{\phi }(f)(x)=&\sup _{{t>0}}|f*\phi _{t}(x)|,\\M_{\phi }(f)(x)=&\sup _{{|y-x|<t<\infty }}|f*\phi _{t}(y)|.\end{aligned}}

Hierbei bezeichnet * die Faltung zwischen einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion.

Charles Fefferman und Elias M. Stein bewiesen für f\in S'(\mathbb{R} ^{n}) und 0<p\leq \infty , dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:

  1. m_{\phi }(f)\in L^{p} für ein \phi \in S mit \int _{{\mathbb{R} ^{n}}}\phi \neq 0,
  2. M_{\phi }(f)\in L^{p} für ein \phi \in S mit \int _{{\mathbb{R} ^{n}}}\phi \neq 0,
  3. M_{\phi }(f)\in L^{p} für jedes \phi \in S und M_{\phi }(f) ist in einer geeigneten Teilmenge U \subset S gleichmäßig beschränkt in \phi .

Man definiert den reellen Hardy-Raum {\mathcal  {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n}) als den Raum, welcher alle temperierten Distributionen enthält, die die obigen Bedingungen erfüllen.

Atomare Zerlegung

Insbesondere {\mathcal  {H}}^{1}(\mathbb{R} ^{n})-Funktionen haben die Eigenschaft, dass man sie in eine Reihe "kleiner" Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann. Ein {\mathcal  {H}}^{p}-Atom ist für p\leq 1 eine Funktion a, so dass gilt:

  1. a hat ihren Träger in einem Ball B;
  2. |a|\leq \mu (B)^{{-1/p}} fast überall; und
  3. \int _{{B}}x^{\beta }a(x){\mathrm  {d}}\mu (x)\,=\,0 für alle \beta mit |\beta |\leq n(p^{{-1}}-1).

Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung {\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|a(x)|^{p}\mathrm {d} x\leq 1} und die Forderung 3 bringt die stärkere Ungleichung

\int _{{\mathbb{R} ^{n}}}(M_{\Phi }(a)(x))^{p}{\mathrm  {d}}x\leq c.

Der Satz über die atomare Zerlegung sagt nun, für f\in {\mathcal  {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n}) mit p\leq 1 kann f als Reihe von {\mathcal  {H}}^{p}-Atomen a_{k}

f=\sum _{{k=1}}^{\infty }\lambda _{k}a_{k}

geschrieben werden. Dabei ist (\lambda _{k})_{k} eine Folge komplexer Zahlen mit {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}<\infty }. Die Reihe {\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}a_{k}} konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter

\|f\|_{{{\mathcal  {H}}^{p}}}\leq c\left(\sum _{{k=1}}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}\right)^{{1/p}}.

Verbindung zu den Hardy-Räumen

Wie oben schon erwähnt, sind die reellen Hardy-Räume aus den Hardy-Räumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert, jedoch beschränken wir uns hier auf den Fall 1-1/n<p<\infty . Der interessante Fall p=1 wird also mit abgehandelt und für n=1 erhält man die ganze Spanne 0 < p < \infty.

Seien

u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n}:\mathbb{R} _{+}^{{n+1}}\to \mathbb{R}

Funktionen auf der oberen Halbebene, welche die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen

\sum _{{j=0}}^{n}{\frac  {\partial u_{j}}{\partial x_{j}}}=0 und
{\frac  {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}={\frac  {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}

für 0\leq j,k\leq n erfüllen.

Jede Funktion u_{j} ist also eine harmonische Funktion und im Fall n=1 entsprechen die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen. Somit gibt es also eine holomorphe Funktion f=u_{0}+iu_{1} bezüglich der Variablen x_{1}+ix_{0}.

Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfüllt eine harmonische Funktion u genau dann eine der drei äquivalenten H^p-Bedingungen, falls eine Funktion F=(u,u_{1},\ldots ,u_{n}) existiert, welche den verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genügt und welche L^{p}-beschränkt ist, was

\sup _{{x_{0}>0}}\int _{{\mathbb{R} ^{n}}}|F(x,x_{0})|^{p}{\mathrm  {d}}x<\infty

bedeutet.

Weitere Eigenschaften

Anwendungen

Hardy-Räume finden Anwendung in der Funktionalanalysis selbst, aber ebenso in der Kontrolltheorie und in der Streutheorie. Sie spielen auch in der Signalverarbeitung eine grundlegende Rolle. Einem reellwertigen Signal f, das für alle t\in {\mathbb  {R}} von endlicher Energie ist, ordnet man das analytische Signal F zu, so dass f(t)=\Re F(t). Ist f\in L^{2}({\mathbb  {R}}), so ist F\in H^{2}({\mathbb  {H}}) und

F(t)=f(t)+ig(t).

(Die Funktion g ist die Hilberttransformierte von f). Beispielsweise ist für ein Signal f(t)=A(t)\cos \varphi (t), dessen zugeordnetes analytisches Signal F\in H^{2}({\mathbb  {H}}) ist, durch F(t)=A(t)e^{{i\varphi (t)}} gegeben.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 08.12. 2020