Hardy-Raum

In der Funktionentheorie ist ein Hardy-Raum H^p ein Funktionenraum holomorpher Funktionen auf bestimmten Teilmengen von $\mathbb {C}$ . Hardy-Räume sind die Entsprechungen der $L^{p}$ -Räume in der Funktionalanalysis. Sie werden nach Godfrey Harold Hardy benannt, der sie 1914 einführte.

Definition

Üblicherweise werden zwei Klassen von Hardy-Räumen definiert, abhängig von dem Gebiet $D\subset {\mathbb {C}}$ in der komplexen Ebene, auf dem ihre Funktionen definiert sind.

Hardy-Räume auf der Einheitskreisscheibe

Sei ${\mathbb {D}}=\{z\in {\mathbb {C}}:|z|<1\}$ die Einheitskreisscheibe in $\mathbb {C}$ . Dann besteht für p>0 der Hardy-Raum $H^{p}({\mathbb {D}})$ aus allen holomorphen Funktionen $F:{\mathbb {D}}\to {\mathbb {C}}$ , für die gilt

$\sup _{{0<r<1}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{{2\pi }}\left|F(re^{{i\theta }})\right|^{p}\;{{\rm {d}}}\theta \right)^{{1/p}}<\infty .$

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird als „ H^p -Norm“ von bezeichnet, in Symbolen $\|F\|_{{H^{p}}}$ .

Für $p=\infty$ setzt man $\textstyle \|F\|_{{H^{\infty }({\mathbb {D}})}}=\sup _{{z\in {\mathbb {D}}}}|F(z)|$ und definiert $H^{\infty }({\mathbb {D}})$ als Raum aller holomorphen Funktionen $F:{\mathbb {D}}\to {\mathbb {C}}$ , für die dieser Wert endlich ist.

Hardy-Räume auf der oberen Halbebene

Sei ${\mathbb {H}}=\{x+iy\in {\mathbb {C}}:y>0\}$ die obere Halbebene in $\mathbb {C}$ . Dann besteht für p>0 der Hardy-Raum $H^{p}({\mathbb {H}})$ aus allen holomorphen Funktionen $F:{\mathbb {H}}\to {\mathbb {C}}$ , für die gilt

$\sup _{{y>0}}\left(\int _{0}^{{\infty }}\left|F(x+iy)\right|^{p}\;{{\rm {d}}}x\right)^{{1/p}}<\infty .$

Der Wert des Terms auf der linken Seite dieser Ungleichung wird ebenfalls als „ H^p -Norm“ von bezeichnet, in Symbolen $\|F\|_{{H^{p}({\mathbb {H}})}}$ .

Für $p=\infty$ setzt man $\textstyle \|F\|_{{H^{\infty }({\mathbb {H}})}}=\sup _{{z\in {\mathbb {H}}}}|F(z)|$ und definiert $H^{\infty }({\mathbb {H}})$ als Raum aller holomorphen Funktionen $F:{\mathbb {H}}\to {\mathbb {C}}$ , für die dieser Wert endlich ist.

Wenn allgemein von Hardy-Räumen H^p die Rede ist, ist in der Regel klar, welche der beiden Klassen gemeint ist (also ob $D={\mathbb {D}}$ oder $D={\mathbb {H}}$ ); üblicherweise ist es der Raum $H^{p}({\mathbb {D}})$ von Funktionen auf der Einheitskreisscheibe $\mathbb {D}$ .

Faktorisierung

Für $p\geq 1$ kann jede Funktion $f\in H^{p}$ als Produkt f=Gh geschrieben werden, worin eine äußere Funktion und eine innere Funktion ist.

Für $H^{p}=H^{p}({\mathbb {D}})$ auf der Einheitsscheibe beispielsweise ist eine innere Funktion genau dann, wenn $|h(z)|\leq 1$ auf der Einheitskreisscheibe gilt und der Grenzwert

$\lim _{{r\rightarrow 1^{-}}}h(re^{{i\theta }})$

für fast alle $\theta$ existiert und sein absoluter Betrag gleich 1 ist. ist eine äußere Funktion, wenn

$G(z)=\exp \left(i\phi +{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{{2\pi }}{\frac {e^{{i\theta }}+z}{e^{{i\theta }}-z}}g(e^{{i\theta }}){{\rm {d}}}\theta \right)$

für einen reellen Wert $\phi$ und eine reellwertige und auf dem Einheitskreis integrable Funktion .

Weitere Eigenschaften

Für $1 \leq p \leq \infty$ sind die Räume Banachräume.
Für gilt $H^{p}({\mathbb {D}})\cong L^{p}([0,1])$ und $H^{p}({\mathbb {H}})\cong L^{p}({\mathbb {R}})$ .

Für $1<p<q<\infty$ gilt $H^{\infty }({\mathbb {D}})\subset H^{q}({\mathbb {D}})\subset H^{p}({\mathbb {D}})\subset H^{1}({\mathbb {D}})$ . Dabei sind alle diese Inklusionen echt.

Reelle Hardy-Räume

Aus den Hardy-Räumen der oberen Halbebene entwickelten Elias Stein und Guido Weiss die Theorie der reellen Hardy-Räume ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n})$ .

Definition

Sei $\phi \in S$ eine Schwartz-Funktion auf $\mathbb {R} ^{n}$ und $\phi _{t}(x)=t^{{-n}}\phi (t^{{-1}}x)$ für t > 0 eine Dirac-Folge. Sei $f\in S'$ eine temperierte Distribution, so sind die radiale Maximalfunktion $m_{\phi }(f)$ und die nicht-tangentiale Maximalfunktion $M_{\phi }(f)$ definiert durch

${\begin{aligned}m_{\phi }(f)(x)=&\sup _{{t>0}}|f*\phi _{t}(x)|,\\M_{\phi }(f)(x)=&\sup _{{|y-x|<t<\infty }}|f*\phi _{t}(y)|.\end{aligned}}$

Hierbei bezeichnet die Faltung zwischen einer temperierten Distribution und einer Schwartz-Funktion.

Charles Fefferman und Elias M. Stein bewiesen für $f\in S'(\mathbb{R} ^{n})$ und $0<p\leq \infty$ , dass die folgenden drei Bedingungen äquivalent sind:

$m_{\phi }(f)\in L^{p}$ für ein $\phi \in S$ mit $\int _{{\mathbb{R} ^{n}}}\phi \neq 0$ ,
$M_{\phi }(f)\in L^{p}$ für ein $\phi \in S$ mit $\int _{{\mathbb{R} ^{n}}}\phi \neq 0$ ,
$M_{\phi }(f)\in L^{p}$ für jedes $\phi \in S$ und $M_{\phi }(f)$ ist in einer geeigneten Teilmenge $U \subset S$ gleichmäßig beschränkt in $\phi$ .

Man definiert den reellen Hardy-Raum ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n})$ als den Raum, welcher alle temperierten Distributionen enthält, die die obigen Bedingungen erfüllen.

Atomare Zerlegung

Insbesondere ${\mathcal {H}}^{1}(\mathbb{R} ^{n})$ -Funktionen haben die Eigenschaft, dass man sie in eine Reihe "kleiner" Funktionen sogenannter Atome zerlegen kann. Ein ${\mathcal {H}}^{p}$ -Atom ist für $p\leq 1$ eine Funktion , so dass gilt:

hat ihren Träger in einem Ball ;
$|a|\leq \mu (B)^{{-1/p}}$ fast überall; und
$\int _{{B}}x^{\beta }a(x){\mathrm {d}}\mu (x)\,=\,0$ für alle $\beta$ mit $|\beta |\leq n(p^{{-1}}-1)$ .

Die Forderungen 1 und 2 garantieren die Ungleichung $\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|a(x)|^{p}\mathrm {d} x\leq 1$ und die Forderung 3 bringt die stärkere Ungleichung

$\int _{{\mathbb{R} ^{n}}}(M_{\Phi }(a)(x))^{p}{\mathrm {d}}x\leq c$ .

Der Satz über die atomare Zerlegung sagt nun, für $f\in {\mathcal {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n})$ mit $p\leq 1$ kann als Reihe von ${\mathcal {H}}^{p}$ -Atomen $a_{k}$

$f=\sum _{{k=1}}^{\infty }\lambda _{k}a_{k}$

geschrieben werden. Dabei ist $(\lambda _{k})_{k}$ eine Folge komplexer Zahlen mit $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}<\infty$ . Die Reihe $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}a_{k}$ konvergiert im Distributionensinne und es gilt weiter

$\|f\|_{{{\mathcal {H}}^{p}}}\leq c\left(\sum _{{k=1}}^{\infty }|\lambda _{k}|^{p}\right)^{{1/p}}$ .

Verbindung zu den Hardy-Räumen

Wie oben schon erwähnt, sind die reellen Hardy-Räume aus den Hardy-Räumen der Funktionentheorie heraus entwickelt worden. Dies wird im folgenden Abschnitt erläutert, jedoch beschränken wir uns hier auf den Fall $1-1/n<p<\infty$ . Der interessante Fall p=1 wird also mit abgehandelt und für n=1 erhält man die ganze Spanne $0 < p < \infty$ .

Seien

$u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n}:\mathbb{R} _{+}^{{n+1}}\to \mathbb{R}$

Funktionen auf der oberen Halbebene, welche die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen

$\sum _{{j=0}}^{n}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{j}}}=0$ und

${\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}$

für $0\leq j,k\leq n$ erfüllen.

Jede Funktion $u_{j}$ ist also eine harmonische Funktion und im Fall n=1 entsprechen die verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genau den normalen Cauchy-Riemann-Gleichungen. Somit gibt es also eine holomorphe Funktion $f=u_{0}+iu_{1}$ bezüglich der Variablen $x_{1}+ix_{0}$ .

Nach einem weiteren Satz von Fefferman und Stein erfüllt eine harmonische Funktion genau dann eine der drei äquivalenten H^p -Bedingungen, falls eine Funktion $F=(u,u_{1},\ldots ,u_{n})$ existiert, welche den verallgemeinerten Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen genügt und welche $L^{p}$ -beschränkt ist, was

$\sup _{{x_{0}>0}}\int _{{\mathbb{R} ^{n}}}|F(x,x_{0})|^{p}{\mathrm {d}}x<\infty$

bedeutet.

Weitere Eigenschaften

Für $1<p\leq \infty$ gilt analog ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n})\cong L^{p}(\mathbb{R} ^{n})$ . Also auch die reellen Hardy-Räume können für diese p mit den entsprechenden $L^{p}(\mathbb{R} ^{n})$ -Räumen identifiziert werden.
Für den Fall kann man ${\mathcal {H}}^{1}(\mathbb{R} ^{n})$ als echte Teilmenge von $L^1(\R^n)$ auffassen.
${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n})\cap L_{{loc}}^{1}(\mathbb{R} ^{n})$ liegt für $0 < p < \infty$ dicht in ${\mathcal {H}}^{p}(\mathbb{R} ^{n})$ .
Der Hardy-Raum ${\mathcal {H}}^{1}(\mathbb{R} ^{n})$ ist nicht reflexiv, der Funktionenraum BMO ist sein Dualraum.

Anwendungen

Hardy-Räume finden Anwendung in der Funktionalanalysis selbst, aber ebenso in der Kontrolltheorie und in der Streutheorie. Sie spielen auch in der Signalverarbeitung eine grundlegende Rolle. Einem reellwertigen Signal , das für alle $t\in {\mathbb {R}}$ von endlicher Energie ist, ordnet man das analytische Signal zu, so dass $f(t)=\Re F(t)$ . Ist $f\in L^{2}({\mathbb {R}})$ , so ist $F\in H^{2}({\mathbb {H}})$ und

(Die Funktion ist die Hilberttransformierte von ). Beispielsweise ist für ein Signal $f(t)=A(t)\cos \varphi (t)$ , dessen zugeordnetes analytisches Signal $F\in H^{2}({\mathbb {H}})$ ist, durch $F(t)=A(t)e^{{i\varphi (t)}}$ gegeben.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de