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Harmonische Funktion

Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring.

In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Definition

Sei U\subseteq \mathbb {R} ^{n} eine offene Teilmenge. Eine Funktion {\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} } heißt harmonisch in U, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle x\in U

\Delta f(x)=0

gilt. Dabei bezeichnet \Delta ={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}} den Laplace-Operator.

Mittelwerteigenschaft

Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion {\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {R} } ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{r^{n-1}s_{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}f(y)\mathrm {d} \sigma (y)}

für alle Kugeln \ B(x,r) mit {\overline {B}}(x,r)\subset U. Hierbei bezeichnet {\displaystyle \ s_{n-1}} das Oberflächenmaß der n-1-dimensionalen Einheitssphäre.

Weitere Eigenschaften

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

Beispiel

Die Grundlösung

S(x):=\left\{{\begin{array}{ll}-{\frac {1}{2\pi }}\ln |x|\ ,&n=2\ ,\\{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}}}{\frac {1}{\|x\|^{n-2}}}\ ,&n\geq 3\ ,\\\end{array}}\right.

ist eine auf \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\} harmonische Funktion, worin \omega _{n} das Maß der Einheitssphäre im \mathbb {R} ^{n} bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Verallgemeinerungen

Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:

{\displaystyle {\Delta }^{m}f=0}

Für m=2 (Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf (Gustav Kirchhoff).

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 31.10. 2020