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Schwartz-Raum

Graph der zweidimensionalen Gauß'schen Glockenkurve

Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird. Benannt ist dieser nach dem Mathematiker Laurent Schwartz, der zentrale Ergebnisse in der Distributionentheorie lieferte, wobei auch der Schwartz-Raum eine wichtige Rolle spielte. Die Elemente des Schwartz-Raums werden Schwartz-Funktionen genannt. Eine Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fouriertransformation einen linearen Automorphismus auf diesem Raum bildet.

Definition

Eine Funktion f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{C} heißt Schwartzfunktion oder schnell-fallend, wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist, und wenn für alle Multiindizes \alpha ,\beta \in \mathbb{N} _{0}^{n} die Funktion x^{\alpha }D^{\beta }f(x) auf \mathbb {R} ^{n} beschränkt ist.

Der Vektorraum aller Schwartzfunktionen heißt Schwartz-Raum und wird mit \mathcal{S}(\R^n) bezeichnet. In aller Kürze gilt also

{\begin{aligned}{\mathcal  {S}}(\mathbb{R} ^{n})\;&{\overset  {}{:=}}\;\left\{\phi \in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})\,{\Big |}\,\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb  {N}}_{0}^{n}:\;\sup _{{x\in \mathbb{R} ^{n}}}|x^{\alpha }D^{\beta }\phi (x)|<\infty \;\right\}\\[.4em]&=\left\{\phi \in C^{\infty }(\mathbb{R} ^{n})\,{\Big |}\,\forall \alpha ,\beta \in {\mathbb  {N}}_{0}^{n},\,\exists C\geq 0,\,\forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\;|x^{\alpha }D^{\beta }\phi (x)|\leq C\;\right\}\,.\end{aligned}}

Der Schwartz-Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum, welcher durch die Familie von Halbnormen

 \|f\|_N = \sup_{x \in \R^n} \max_{|\alpha|,\, |\beta| < N} |x^\alpha D^\beta f(x)|

induziert wird.

Beispiele

Eigenschaften

Temperierte Distributionen

Hauptartikel: Temperierte Distribution

Eine stetige, lineare Abbildung f:{\mathcal  {S}}(\mathbb{R} ^{n})\rightarrow \mathbb{C} heißt temperierte Distribution. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit \mathcal{S}'(\R^n) bezeichnet. Dies ist der topologische Dualraum zu \mathcal{S}(\R^n).

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.01. 2021