Dichte Teilmenge

Im mathematischen Fachgebiet Topologie ist eine dichte Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raumes eine Teilmenge dieses Raumes mit besonderen Eigenschaften. Der Begriff dichte Teilmenge wird in seiner allgemeinen Form in der Topologie definiert. Er wird auch in vielen anderen Teildisziplinen der Mathematik, etwa der Analysis, der Funktionalanalysis und der Numerik angewandt, zum Beispiel bei der Approximation von stetigen Funktionen durch Polynome.

Man sagt von einer Teilmenge, sie liege dicht in einem metrischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die rationalen Zahlen {\mathbb  {Q}} eine dichte Teilmenge in der Menge der reellen Zahlen {\mathbb  {R}}. Das bedeutet, dass man irrationale Zahlen beliebig genau durch rationale Brüche beziehungsweise durch endliche Dezimalzahlen approximieren kann. Allgemeiner sagt man von einer Teilmenge A, sie liege dicht in einem topologischen Raum X, wenn jede Umgebung eines beliebigen Punktes x aus X immer auch ein Element aus A enthält.

Definition in metrischen Räumen

Gegeben sei ein metrischer Raum  (X, d) (wie beispielsweise ein normierter Raum {\displaystyle (X,\|\cdot \|)} mit der Metrik {\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|}).

Dann heißt eine Menge  M dicht in X, wenn eine der folgenden äquivalenten Aussagen zutrifft:

Die obige Definition durch den Grenzwert einer Folge ist so nicht auf allgemeine topologische Räume übertragbar. Die Konvergenz von Folgen muss hierfür durch Filter oder Netze verallgemeinert werden.

Beispiele

Definition in topologischen Räumen

Gegeben sei ein topologischer Raum {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}. Dann ist eine Menge  M genau dann dicht (in X), wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

Eine Menge  M heißt dicht in Y\subset X, wenn sie dicht bezüglich der Teilraumtopologie {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} ist. Teils werden dann die in der Obermenge X dichten Mengen auch überall dicht genannt.

Eigenschaften

wobei dicht im Sinne der Unterraumtopologie gemeint ist.

Geordnete Mengen

Ein Spezialfall des topologischen Begriffes dicht ergibt sich durch die Anwendung auf geordnete Mengen. Eine Teilmenge S einer streng totalgeordneten Menge (M,<) heißt dicht (in M), wenn es zu allen x und y aus M mit x < y ein z aus S gibt, so dass x<z<y. Dieser Spezialfall ergibt sich durch die Ordnungstopologie auf M und wird dort näher erläutert.

Weiterführende Begriffe

Nirgends dichte Mengen

Hauptartikel: Nirgends dichte Menge

Eine nirgends dichte Menge ist eine Teilmenge A eines topologischen Raumes, bei der das das Innere ihres Abschlusses leer ist. Es git also

{\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {A}})=\emptyset }.

Entgegen ihres Namens sind nirgends dichte Mengen nicht das Gegenteil oder Komplement von dichten bzw. überall dichten Mengen. Genauer ist eine Menge genau dann nirgends dicht, wenn sie in keiner (nichtleeren) offenen Menge dicht ist. Somit sind dichte Mengen nie nirgends dicht, da sie immer in der offenen Menge X dicht sind. Umgekehrt gibt es aber sowohl nicht dichte Mengen, die nirgends dicht sind (wie die ganzen Zahlen  \Z in \mathbb {R} ) als auch nicht dichte Mengen, die nicht nirgends dicht sind (wie das Intervall {\displaystyle [2,3]} in \mathbb {R} .)

Separable und polnische Räume

Ein topologischer Raum heißt ein separabler Raum, wenn er eine abzählbare, dichte Menge enthält. Dies erleichtert häufig die Beweisführung, somit sind separable Räume "leichter" handzuhaben. Noch stärker ist der Begriff des polnischen Raumes, dies ist ein topologischer Raum, der eine abzählbare dichte Teilmenge enthält und vollständig metrisierbar ist.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 04.08. 2018