Hilbert-Transformation

Die Hilbert-Transformation ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation. Sie ist nach David Hilbert benannt, welcher sie Anfang des 20. Jahrhunderts bei Arbeiten am Riemann-Hilbert-Problem für holomorphe Funktionen formulierte.

Sie wird im Bereich der Fourier-Transformation und der Fourieranalyse angewendet. Weitere Anwendungsgebiete liegen im Bereich der Signalverarbeitung, bei der sie dazu dient, aus einem reellen Signal ein analytisches Signal bzw. ein monogenes Signal zu bilden.

Blau: Signalverlauf
Rot: Hilbert-Transformation des blauen Signals

Definition

Die Hilbert-Transformation ist für reelle Variablen und und für reell- oder komplexwertige Funktionen und definiert als:

$g(y)={\mathcal {H}}\left\{{f}\right\}\left({y}\right)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{y-x}}\mathrm {d} x$

Dieses Integral hat die Form eines Faltungsintegrals, so dass sich die Hilbert-Transformation mit dem Faltungsoperator $\ast$ auch in folgender Form schreiben lässt:

$g(y)={\mathcal {H}}\left\{{f}\right\}\left({y}\right)=f(y)\ast {\frac {1}{\pi y}}$

Diese Transformation ist umkehrbar. Die inverse Hilbert-Transformation ist gegeben durch:

${\mathcal {H}}^{-1}\left\{{g}\right\}=-{\mathcal {H}}\left\{{g}\right\}=f$

Eigenschaften

Einige wesentliche Eigenschaften der Hilbert-Transformation bei reeller Variable und für reelle oder komplexe Funktionen bzw. sind:

Linearität: ${\mathcal {H}}\left\{a\cdot x+b\cdot y\right\}=a\cdot {\mathcal {H}}\left\{x\right\}+b\cdot {\mathcal {H}}\left\{y\right\}$

Filterung: ${\mathcal {H}}\left\{x\ast y\right\}={\mathcal {H}}\left\{x\right\}\ast y=x\ast {\mathcal {H}}\left\{y\right\}$

Beziehung zur Fourier-Transformation

Insbesondere in der Nachrichtentechnik und deren Signalverarbeitung spielt der Bezug zur Fourier-Transformation eine wesentliche Rolle. Hierfür sind die Transformationspaare in beiden Richtungen von Interesse. Im Weiteren wird die in den Ingenieurwissenschaften übliche Notation $\mathrm {j}$ für die imaginäre Einheit benutzt. In der Mathematik ist für die imaginäre Einheit die Notation $\mathrm {i}$ üblich. Es gilt für $\mathrm {j}$ die charakteristische Identität ${{\mathrm {j}}}^{2}=-1$ .

unsymmetrische Normierung		Transformation mit der Frequenz
${\mathcal {F}}\left\{{\frac {1}{\pi t}}\right\}=-{\mathrm {j}}\cdot \operatorname {sgn}(\omega )=e^{{-{\mathrm {j}}{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn}(\omega )}}$ ${\mathcal {F}}^{{-1}}\left\{{\frac {1}{\pi \omega }}\right\}={\mathrm {j}}\cdot {\frac {1}{2\pi }}\cdot \operatorname {sgn}(t)$		${\mathcal {F}}\left\{{\frac {1}{\pi t}}\right\}=-{\mathrm {j}}\cdot \operatorname {sgn}(f)=e^{{-{\mathrm {j}}{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn}(f)}}$ ${\mathcal {F}}^{{-1}}\left\{{\frac {1}{\pi f}}\right\}={\mathrm {j}}\cdot \operatorname {sgn}(t)$

unsymmetrische Normierung

Transformation mit der Frequenz

${\mathcal {F}}\left\{{\frac {1}{\pi t}}\right\}=-{\mathrm {j}}\cdot \operatorname {sgn}(\omega )=e^{{-{\mathrm {j}}{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn}(\omega )}}$

${\mathcal {F}}^{{-1}}\left\{{\frac {1}{\pi \omega }}\right\}={\mathrm {j}}\cdot {\frac {1}{2\pi }}\cdot \operatorname {sgn}(t)$

${\mathcal {F}}\left\{{\frac {1}{\pi t}}\right\}=-{\mathrm {j}}\cdot \operatorname {sgn}(f)=e^{{-{\mathrm {j}}{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn}(f)}}$

${\mathcal {F}}^{{-1}}\left\{{\frac {1}{\pi f}}\right\}={\mathrm {j}}\cdot \operatorname {sgn}(t)$

Hilbert-Transformation als Übertragungsfunktion im Frequenzbereich

Betrachtet sei nun die Faltungsoperation im Zeitbereich, die der Multiplikation im Frequenzbereich entspricht.

${\hat x}(t)={\mathcal {H}}\left\{x(t)\right\}=x(t)\ast {\frac {1}{\pi t}}$

${\hat X}({\mathrm {j}}\omega )=X({\mathrm {j}}\omega )\cdot (-{\mathrm {j}}\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))$

Das führt zur Übertragungsfunktion

$H_{H}({\mathrm {j}}\omega )=-{\mathrm {j}}\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\,$ .

Die Hilbert-Transformation kann in diesem Zusammenhang als eine Phasenverschiebung um ${\tfrac {\pi }{2}}$ (bzw. +90°) für negative Frequenzen und um $-\tfrac{\pi}{2}$ (bzw. −90°) für positive Frequenzen aufgefasst werden. Nachrichtentechnische Anwendungen liegen im Bereich von Modulationsverfahren, insbesondere der Einseitenbandmodulation als Bestandteil eines analytischen Signals. Die technische Realisierung erfolgt näherungsweise in Form von speziellen Allpassfiltern, die auch als Hilbert-Transformatoren bezeichnet werden.

Diskrete Hilbert-Transformation

Ein bandbegrenztes Signal $g\left(t\right)$ limitiert auch die Hilbert-Transformierte von $g\left(t\right)$ auf die gleiche Bandbreite. Beträgt die Bandbegrenzung maximal die halbe Abtastfrequenz, kann zufolge des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems ohne Informationsverlust eine zeitdiskrete Folge $g\left[k\right]$ , mit positiv und ganzzahlig, gebildet werden. Die diskrete Hilbert-Transformation ist dann gegeben als:

${\mathcal {H}}\left\{g[k]\right\}=h[k]\ast g[k]$

mit der Impulsantwort $h\left[k\right]$ der zeitdiskreten Hilbert-Transformation:

$h[k]={\frac {1-{\mathrm {cos}}(\pi k)}{\pi k}}={\begin{cases}0,&k{\text{ gerade}},\\{\frac 2{\pi k}}&k{\text{ ungerade}}\end{cases}}$

Die zeitdiskrete Hilbert-Transformation ist nicht kausal – für praktische Implementierungen im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung wo diese Form eine Rolle spielt, wird $h\left[k\right]$ näherungsweise mittels einer endlichen Länge implementiert. Zu beachten ist, dass die zeitdiskrete Impulsantwort $h\left[k\right]$ nicht der abgetasteten, kontinuierlichen Impulsantwort $h\left(t\right)$ entspricht.

Kausalitätsbedingung im Frequenzbereich

Durch die Impulsantwort lässt sich ein System vollständig beschreiben. Soll die Bedingung Kausalität erfüllt werden, dann muss die Impulsantwort für die Zeit vor der Anregung den Wert Null aufweisen. Abstrakt lässt sich das über eine Multiplikation mit der Sprungfunktion ausdrücken.

$h(t)=h(t)\cdot \sigma _{{{\frac {1}{2}}}}(t)$

Durch Fouriertransformation lässt sich aus der Impulsantwort die entsprechende Übertragungsfunktion im Frequenzbereich ermitteln. Das führt schließlich zu einem Faltungsintegral, das der Hilbert-Transformation entspricht.

$H({\mathrm {j}}\omega )=-{\mathrm {j}}{\mathcal {H}}\left\{H(f)\right\}=-{\mathrm {j}}\cdot \left[\Re \left({\mathcal {H}}\left\{H(f)\right\}\right)+{\mathrm {j}}\Im \left({\mathcal {H}}\left\{H(f)\right\}\right)\right]=\Re \left(H(f)\right)+{\mathrm {j}}\Im \left(H(f)\right)$

Daraus folgen die Kausalitätsbedingungen für eine beliebige Übertragungsfunktion:

$\Re \left(H(f)\right)={\mathcal {H}}\left\{\Im \left(H(f)\right)\right\}$

und

$\Im \left(H(f)\right)=-{\mathcal {H}}\left\{\Re \left(H(f)\right)\right\}$

Korrespondenzen

Einige wichtige Korrespondenzen der Hilbert-Transformation sind: (Hinweis: Die Voraussetzungen wie gültiger Wertebereich oder Definitionsbereich wurden der Übersicht wegen weggelassen.)

Signal $x(t)\,$	Hilbert-Transformierte ${\mathcal {H}}\{x(t)\}$
$\sin(t)\,$	$-\cos(t)\,$
$\cos(t)\,$	$\sin(t)\,$
${\frac {1}{t^{2}+1}}$	${\frac {t}{t^{2}+1}}$
${\frac {\sin(t)}{t}}$ Sinc-Funktion	${\frac {1-\cos(t)}{t}}$
$\sqcap (t)$ Rechteck-Funktion	${1 \over \pi }\ln \left\|{\frac {t+{\frac {1}{2}}}{t-{\frac {1}{2}}}}\right\|$
$\delta (t)$ Dirac-Delta-Funktion	${\frac {1}{\pi t}}$
$e^{{-t^{2}}}$	$e^{{-t^{2}}}\operatorname {erfi}(t)$ Imaginäre Fehlerfunktion erfi

Implementierung

Hilbert-Transformationsfilter (FIR) mit 6. Ordnung

Für praktische Implementierungen kann die diskrete Hilbert-Transformation einer reellen Zahlenfolge der Länge mittels der diskreten Fourier-Transformation (DFT) näherungsweise realisiert werden: Zunächst wird die Fourier-Transformierte der Eingabefolge berechnet, danach werden in dem berechneten Spektrum alle Spektralanteile, die für negative Frequenzanteile stehen, auf 0 gesetzt. Abschließend wird mittels der inversen Fouriertransformation (IDFT) die Ausgabefolge berechnet.

Berechnung der Fouriertransformierten $X\left[i\right]$ von der Eingangsfolge mit der Länge . Aus Effizienzgründen wird dafür die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt.
Bildung eines Vektors der Länge , der nur die Werte 0, 1 und 2 nach folgender Regel aufweist:
- Wert 1 für den Index $i=1,\,{\tfrac {N}{2}}+1$
- Wert 2 für den Index $i=2,\,3,\ldots ,\,{\tfrac {N}{2}}$
- Wert 0 für den Index $i={\tfrac {N}{2}}+2,\ldots ,\,N$
Bildung des elementweisen Produktes $Y\left[i\right]$ von $X\left[i\right]$ mit $H\left[i\right]$
Berechnung der inversen Fouriertransformierten IDFT von $Y\left[i\right]$ , um die Ausgangsfolge zu bestimmen.

Alternativ kann die Hilbert-Transformation in Näherung auch mit FIR-Filtern gerader Ordnung in Form eines Allpasses realisiert werden, wie in nebenstehender Abbildung für ein Hilbert-Transformationsfilter 6. Ordnung dargestellt. Erkennbar dabei, dass bei Hilbert-Transformationsfiltern immer die ungeraden Filterkoeffizienten von Wert 0 sind, und die verbleibenden geraden Filterkoeffizienten $\alpha _{0},\,\alpha _{2},\,\alpha _{4},\ldots$ lassen sich aufgrund von Symmetriegründen paarweise mit invertierten Vorzeichen zusammenfassen. Das Ausgangssignal $y_{I}\left[k\right]$ (I-Komponente) wird im Filter nur zeitlich verzögert um mit dem gefilterten Signal $y_{Q}\left[k\right]$ (Q-Komponente) in Phase zu sein. Die so gebildete Kombination

$y_{I}[k]+{\mathrm {j}}\cdot y_{Q}[k]$

wird als analytisches Signal des reellwertigen Eingangssignals $x\left[k\right]$ bezeichnet.

Funktionalanalysis

Die Hilbert-Transformation hat als Operator zwischen Funktionenräumen einige Bedeutung. Es ist eine nicht triviale Tatsache, dass die Hilbert-Transformation einen beschränkten Operator ${\mathcal {H}}\colon L^{p}({\mathbb {R}}){\stackrel {{\mathcal H}}{\to }}L^{p}({\mathbb {R}})$ , für $1<p<\infty$ definiert.

Die Hilbert-Transformation ist ein isometrischer Isomorphismus (für p=2 ein unitärer Operator) und erfüllt die Gleichung ${\mathcal {H}}^{2}=-{\mathbb {I}}$ , wobei $\mathbb{I}$ die identische Abbildung ist.

Die Hilbert-Transformation ist für ${\mathcal {H}}\colon L^{p}({\mathbb {R}}){\stackrel {{\mathcal H}}{\to }}L^{p}({\mathbb {R}})$ für $p\in (1,\infty ]$ nicht, allerdings für $p\equiv 1\,,$ schwach beschränkt.

Beziehung zu den Kramers-Kronig-Relationen

Die Kramers-Kronig-Relationen der Physik erhält man mit der formalen Identität (siehe Distribution (Mathematik))

${\frac {1}{x}}=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{x+\mathrm {i} \varepsilon }}=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {x}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}-\mathrm {i} \cdot \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\,{\frac {\varepsilon }{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,,$

wobei der erste Teil bei der Integration über den Cauchy-Hauptwert CH von $\tfrac{1}{x}$ und der zweite Teil das $\pi$ -fache der Dirac-Distribution $\delta$ ergibt.

Die Hilbert-Transformation findet dann Anwendung, wenn eine reelle Funktion von der reellen Achse $\mathbb {R}$ zu einer in der darüber liegenden komplexen Halbebene holomorphen Funktion fortgesetzt werden soll.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de