Rechteckfunktion

Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

$\operatorname{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0 & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{wenn } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \text{wenn } |t| < \frac{1}{2}. \end{cases}$

Alternative Definitionen, welche vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:

$\operatorname{rect_d}(t) = \begin{cases} 1 & \text{wenn } |t| \le \frac{1}{2} \\[3pt] 0 & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2}. \end{cases}$

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion $\Theta(x)$ ausgedrückt werden als:

$\operatorname{rect}(t) = \Theta \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot \Theta \left( \frac{1}{2} - t \right) = \Theta \left( t + \frac{1}{2} \right) - \Theta \left( t - \frac{1}{2} \right)$ .

Dabei ist $\Theta(0) = \tfrac{1}{2}$ gesetzt.

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die si-Funktion $\operatorname{si}(x) = \sin(x)/x$ :

$\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\} = \operatorname{si}(\pi f)$

Das gilt auch für $\operatorname{rect_d}(t)$ . Umgekehrt ist

$\mathcal{F}\{\operatorname{si}(\pi t)\} = \operatorname{rect}(f)$ .

Hier ist es wichtig, die erste Definition der Rechteckfunktion zu verwenden, für $\operatorname{rect_d}$ ist die letzte Gleichung falsch.

Verschiebung und Skalierung

Eine Rechteckfunktion, die bei t_0 zentriert ist und eine Dauer von hat, wird ausgedrückt durch

$\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{T} \right) \, .$

Ableitung

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution δ möglich:

$\operatorname{rect}\,' (t) = \delta \left(t + \frac{1}{2} \right) - \delta \left(t - \frac{1}{2} \right)$

Weitere Zusammenhänge

Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen.

Die mehrfache Faltung mit Faltungen

$\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) * \ldots$

ergibt für $m \to \infty$ mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.

Basierend auf einem Artikel in

Wikipedia.de