Rechteckfunktion

Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

\operatorname{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{wenn } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \text{wenn } |t| < \frac{1}{2}.
\end{cases}

Alternative Definitionen, welche vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:

\operatorname{rect_d}(t) = \begin{cases}
1           & \text{wenn } |t| \le \frac{1}{2} \\[3pt]
0           & \text{wenn } |t| > \frac{1}{2}.
\end{cases}

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion \Theta(x) ausgedrückt werden als:

\operatorname{rect}(t) = \Theta \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot \Theta \left( \frac{1}{2} - t \right) = 
                          \Theta \left( t + \frac{1}{2} \right) - \Theta \left( t - \frac{1}{2} \right).

Dabei ist \Theta(0) = \tfrac{1}{2} gesetzt.

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die si-Funktion \operatorname{si}(x) = \sin(x)/x:

\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\} = \operatorname{si}(\pi f)

Das gilt auch für \operatorname{rect_d}(t). Umgekehrt ist

\mathcal{F}\{\operatorname{si}(\pi t)\} = \operatorname{rect}(f).

Hier ist es wichtig, die erste Definition der Rechteckfunktion zu verwenden, für \operatorname{rect_d} ist die letzte Gleichung falsch.

Verschiebung und Skalierung

Eine Rechteckfunktion, die bei t_0 zentriert ist und eine Dauer von T hat, wird ausgedrückt durch

\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{T} \right) \, .

Ableitung

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution δ möglich:

\operatorname{rect}\,' (t) = \delta \left(t + \frac{1}{2} \right) - \delta \left(t - \frac{1}{2} \right)

Weitere Zusammenhänge

Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen.

Die mehrfache Faltung mit m Faltungen

\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) * \ldots

ergibt für m \to \infty mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.

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Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 23.10. 2017