Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist X ein Hilbertraum und bezeichnet {\mathcal  {L}}(X) die Menge aller stetigen Endomorphismen von X, so heißt ein Operator A\in {\mathcal  {L}}(X) normal, falls er mit seinem adjungierten Operator A^{{\ast }} kommutiert, also wenn

AA^{{\ast }}=A^{{\ast }}A

gilt.

Beispiele

Eigenschaften

Sei A\in {\mathcal  {L}}(X) ein normaler Operator. Dann gilt:

Verwandte Begriffe

Ein Operator A\in {\mathcal  {L}}(X) heißt

Es gelten folgende Implikationen:

normal \Rightarrow quasinormal \Rightarrow subnormal \Rightarrow hyponormal \Rightarrow paranormal \Rightarrow normaloid.

Unbeschränkte Operatoren

Ein unbeschränkter Operator A:D(A)\subseteq X\to X mit Definitionsbereich D(A) heißt normal falls

\|Ax\|=\|A^{\ast }x\|,\qquad \forall x\in D(A)=D(A^{\ast })

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt A^{\ast }=A.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 14.01. 2019