Monoidring

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Definition

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und  G ein Monoid, dann ist

{\displaystyle R[G]:=\{\alpha \colon G\to R{\big |}\alpha (x)=0{\text{ für alle bis auf endlich viele }}x\}\,}

mit der Addition

 (\alpha + \beta)(x):=\alpha(x) + \beta(x)

und der Faltung

 (\alpha\beta)(z):=\sum_{x y=z} {\alpha(x)\beta(y)}

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt  a \cdot x oder einfach  ax für die Abbildung  \alpha \in R[G] , die an der Stelle x den Wert a und ansonsten {\displaystyle 0} annimmt. Beispielsweise gilt dann

(a\cdot x)(b\cdot y) = (ab) \cdot (xy)\quad\text{für } a,b \in R \text{ und } x,y \in G.

R[G] besitzt ein Einselement, nämlich 1\cdot e, wobei 1 das Einselement von R und e das Neutralelement von G ist.

Ist G eine Gruppe, so heißt R[G] Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise RG ist üblich.

R[G] wird zur R-Algebra via r \sum_i r_i g_i := \sum_i r r_i g_i

Eigenschaften

Universelle Eigenschaft

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien G und R wie oben definiert. Es bezeichne \mathbf{Mon} die Kategorie der Monoide und \mathbf{Alg_R} die Kategorie der (assoziativen) R-Algebren. Sei {\displaystyle U\colon \mathbf {Alg_{R}} \to \mathbf {Mon} } der Vergissfunktor, d.h. der Funktor, der jeder R-Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung {\displaystyle \phi \colon G\to U(R[G]),g\mapsto 1g} universell, d.h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus {\displaystyle f\colon G\to U(A)} in das multiplikative Monoid einer R-Algebra A haben, dann existiert genau ein R-Algebra-Homomorphismus {\displaystyle {\bar {f}}\colon R[G]\to A}, so dass U(\bar f) \circ \phi = f.

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht \bar f wie folgt aus: \bar f \left(\sum_i r_i g_i\right) = \sum_i r_i f(g_i).

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über R zuordnet, mit F bezeichnen, ist also F linksadjungiert zu U. So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

Beispiele

Spezialfälle

Siehe auch: Gruppen-C*-Algebra
(f*g)(\sigma)=\int_G f(\tau)g(\tau^{-1}\sigma)\,\mathrm d\mu(\tau)
als Produkt eine Banachalgebra.
aus \alpha<\beta und \gamma<\delta folgt \alpha\gamma<\beta\delta,
so sei
S(G,A)=\{f\colon G\to A\mid\text{supp } f \text{ wohlgeordnet}\}
mit \mathrm{supp}\,f:=\{g\in G\mid f(g)\not=0\}. Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird S(G,A) zu einem Ring. Ist A ein Körper, so ist S(G,A) ein Schiefkörper. Ist beispielsweise G=\mathbb Z mit der natürlichen Ordnung, so ist S(G,A) der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in A.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 01.10. 2020