Algebra über einem kommutativen Ring

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder -Algebra (wobei ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Allgemeine Definition

Sei ein kommutativer Ring, ein -Modul und

$\cdot \colon A\times A\to A,$

eine zweistellige Verknüpfung über , genannt „Multiplikation“.

Das Paar $(A,\cdot)$ heißt „-Algebra“, wenn die Multiplikation $\cdot$ bilinear ist, d.h. für beliebige Elemente $x,y,z\in A$ und Ringelemente $\lambda \in R$ gilt:

$(x+y)\cdot z=xz+yz,$
$x\cdot (y+z)=xy+xz,$
$\lambda \cdot (xy)=(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y).$

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines Einselements der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt.

Spezielle Definition

Sei ein kommutativer Ring. Eine -Algebra ist ein Tupel $(A,\alpha)$ . Dabei ist ein unitärer Ring und $\alpha \colon R\rightarrow Z(A)$ ein Ringhomomorphismus ins Zentrum von .

Eigenschaften

Eine so definierte -Algebra kann als -Bimodul aufgefasst werden vermöge $r\cdot a\cdot r':=\alpha (r)\cdot a\cdot \alpha (r')$ .
Eine -Algebra heißt endlich wenn sie aufgefasst als -Modul endlich erzeugt ist.
Eine -Algebra heißt endlich erzeugt wenn es für ein $n\geq 0$ einen surjektiven Algebrenhomomorphismus $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A$ gibt.

Algebrenhomomorphismus

Ein -Algebrenhomomorphismus von $(A,\alpha)$ nach $(B,\beta)$ ist ein Ringhomomorphismus von nach , für den gilt, dass $f\circ \alpha =\beta$ ist.

Beispiele

Jeder Ring ist eine $\mathbb {Z}$ -Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen.
Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
Der Polynomring über einem Ring ist eine endlich erzeugte, aber nicht endliche -Algebra (sofern nicht der Nullring ist).

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de