Zentrum (Algebra)

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra bezeichnet das Zentrum einer Algebra oder einer Gruppe diejenige Teilmenge der betrachteten Struktur, die aus all den Elementen besteht, die mit allen Elementen bzgl. der Multiplikation kommutieren.

Zentrum einer Gruppe

Ist G eine Gruppe, so ist deren Zentrum die Menge

\mathrm {Z} (G):=\{z\in G\mid \forall g\in G:gz=zg\}.

Eigenschaften

Das Zentrum von G ist eine Untergruppe, denn sind x und y aus Z(G), dann gilt für jedes g\in G

(xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy),

also liegt auch xy im Zentrum. Analog zeigt man, dass x^{-1} im Zentrum liegt:

x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}.

Das neutrale Element der Gruppe e liegt stets im Zentrum: eg=g=ge.

Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von G, es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von G, bleibt also fest unter jedem Automorphismus. Das Zentrum ist sogar streng charakteristisch, bleibt also auch fest unter jedem Epimorphismus. G ist genau dann abelsch, wenn Z(G)=G.

Das Zentrum besteht aus genau den Elementen z von G, für die die Konjugation mit z, also \left(g\mapsto z^{-1}gz\right), die identische Abbildung ist. Somit kann man das Zentrum auch als Spezialfall des Zentralisators definieren. Es gilt Z_{G}(G)=Z(G).

Beispiele

(1\;2)(1\;3)=(1\;3\;2)\neq (1\;3)(1\;2)=(1\;2\;3)
(1\;2)(2\;3)=(1\;2\;3)\neq (2\;3)(1\;2)=(1\;3\;2)
(1\;2\;3)(1\;2)=(1\;3)\neq (1\;2)(1\;2\;3)=(2\;3)
(1\;3\;2)(1\;2)=(2\;3)\neq (1\;2)(1\;3\;2)=(1\;3)

Zentrum eines Rings

Das Zentrum eines Rings R besteht aus denjenigen Elementen des Rings, die mit allen anderen kommutieren:

\mathrm {Z} (R)=\{z\in R\mid za=az\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ a\in R\}.

Das Zentrum Z(R) ist ein kommutativer Unterring von R. Ein Ring stimmt genau dann mit seinem Zentrum überein, wenn er kommutativ ist.

Zentrum einer assoziativen Algebra

Das Zentrum einer assoziativen Algebra A ist die kommutative Unteralgebra

\mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ a\in A\}.

Eine Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie kommutativ ist.

Zentrum einer Lie-Algebra

Definition

Das Zentrum einer Lie-Algebra {\mathfrak {g}} ist das (abelsche) Ideal

{\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{Z\in {\mathfrak {g}}\mid [X,Z]=0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ X\in {\mathfrak {g}}\},

wobei [\cdot ,\cdot ] die Lie-Klammer also die Multiplikation in {\mathfrak {g}} bezeichnet. Eine Lie-Algebra stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie abelsch ist.

Beispiel

Z\left(\mathrm {GL} (n,K)\right)=\{\lambda E_{n}\colon \lambda \in K^{*}\}.
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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 22.10. 2018