Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren F:{\mathcal  {C}}\rightarrow {\mathcal  {D}} und G:{\mathcal  {D}}\rightarrow {\mathcal  {C}} zwischen Kategorien {\mathcal {C}} und {\mathcal {D}} heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von Daniel Marinus Kan eingeführt.

Definition

Zwei Funktoren F\colon {\mathcal  {C}}\rightarrow {\mathcal  {D}} und G\colon {\mathcal  {D}}\rightarrow {\mathcal  {C}} zwischen Kategorien {\mathcal {C}} und {\mathcal {D}} bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren

(X,Y)\mapsto \operatorname {Mor}_{{{\mathcal  {D}}}}(X,FY)

und

(X,Y)\mapsto \operatorname {Mor}_{{{\mathcal  {C}}}}(GX,Y)

von {{\mathcal  {D}}}^{{\operatorname {op}}}\times {{\mathcal  {C}}} in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funktoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)

F heißt rechtsadjungiert zu G, G heißt linksadjungiert zu F.

Einheit und Koeinheit der Adjunktion

Ist t die natürliche Äquivalenz \operatorname {Mor}_{{{\mathcal  {D}}}}(\cdot _{1},F(\cdot _{2}))\to \operatorname {Mor}_{{{\mathcal  {C}}}}(G(\cdot _{1}),\cdot _{2}), so heißen die natürlichen Transformationen

{\displaystyle \eta \colon \operatorname {id} _{\mathcal {D}}\to FG}
X\mapsto t_{{(X,GX)}}^{{-1}}(\operatorname {id}_{{GX}})

und

{\displaystyle \varepsilon \colon GF\to \operatorname {id} _{\mathcal {C}}}
Y\mapsto t_{{(FY,Y)}}(\operatorname {id}_{{FY}})

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

F\rightarrow FGF\rightarrow F

und

G\rightarrow GFG\rightarrow G

die Identität ergeben. Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen eine Adjunktion bestimmen.

Eigenschaften

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 27.09. 2019