Fehlerfortpflanzung

Bei vielen Messaufgaben ist eine Größe nicht direkt messbar, sondern sie ist indirekt aus mehreren messbaren Größen nach einer festgelegten mathematischen Beziehung zu bestimmen. Da jeder Messwert der einzelnen Größen von seinem richtigen Wert abweicht (siehe Messabweichung, älterer Begriff Messfehler), wird auch das Ergebnis der Rechnung von seinem richtigen Wert abweichen. Die einzelnen Abweichungen werden mit der Formel übertragen. Dieses wird Fehlerfortpflanzung genannt. Für diese existieren Rechenregeln, mit denen die Abweichung des Ergebnisses bestimmt oder abgeschätzt werden kann.

Seit der Unterscheidung zwischen Messabweichung und Messfehler ist der Begriff Fehlerfortpflanzung als überholt anzusehen. Da sich noch kein neuer Begriff etabliert hat, wird zur sprachlichen Einheitlichkeit hier noch der Begriff Fehler beibehalten.

Aufgabe

Häufig soll ein Ergebnis aus einer Größe oder im allgemeinen Fall aus mehreren Größen $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dotsc$ berechnet werden. Mit einer fehlerbehafteter Bestimmung der Eingangsgröße(n) wird auch die Ergebnisgröße falsch berechnet. Nach groben Fehlern muss neu gerechnet werden. Sonst ist es eher angebracht, nur die Auswirkung des Fehlers oder der Fehler auf das Ergebnis zu bestimmen.
Mathematisch gesagt: Hat eine Funktion $y=y(x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \dotsc \ )$ mit mehreren unabhängigen Variablen $x_{i\,}$ , die um ein kleines $\Delta x_{i}$ falsch sind, so wird auch das Ergebnis falsch um ein kleines $\Delta y$ . Dieses $\Delta y$ soll berechnet werden können.
Messtechnisch gesagt: Ist ein Messergebnis aus Messwerten verschiedener Größen auszurechnen, wobei diese Messwerte von ihren richtigen Werten abweichen, so wird ein Ergebnis berechnet, das entsprechend auch vom richtigen Ergebnis abweicht. Die Größe der Abweichung des Messergebnisses soll ausgerechnet werden können (im Rahmen des quantitativ Sinnvollen, siehe Fehlergrenze).

Möglichkeiten, Einschränkungen

Systematischer Fehler

Systematische Fehler sind im Prinzip bestimmbar, sie haben einen Betrag und ein Vorzeichen.

Beispiel: Die in einem Verbraucher umgesetzte elektrische Leistung soll berechnet und dazu die Stromstärke durch den Verbraucher gemessen werden. Dazu wird ein Strommesser in die Leitung geschaltet. An dem Messgerät fällt aber eine Spannung ab; dadurch wird die Spannung am Verbraucher kleiner als die Speisespannung; dadurch wird bei einem ohmschen Verbraucher die Stromstärke auch kleiner; es wird etwas zu wenig gemessen (negative Rückwirkungsabweichung, die sich bei bekannter Speisespannung und bei bekanntem Messgeräte-Innenwiderstand ausrechnen lässt). Die aus Speisespannung und gemessener Stromstärke berechnete Leistung wird damit auch zu niedrig angegeben.

Bei systematischen Fehlern der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln der systematische Fehler der Ausgangsgröße berechnen.

Messgerätefehler

Ferner kann nicht davon ausgegangen werden, dass die vom Messgerät erfasste Größe ohne Messgerätefehler angezeigt wird. In seltenen Fällen ist anhand einer Fehlerkurve zu dem Messwert der zugehörige systematische Fehler bekannt. Im Allgemeinen ist von einem Messgerätefehler nur dessen Grenzwert, die Fehlergrenze bekannt.

Beispiel: Kann die Stromstärke im obigen Beispiel nur mit einer Fehlergrenze von 4 % bestimmt werden, kann die Fehlergrenze der Leistung nicht niedriger sein.

Bei Fehlergrenzen der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln die Fehlergrenze der Ausgangsgröße berechnen.

Zufälliger Fehler

Soweit bisher behandelt, gibt es mehrere Eingangsgrößen (unabhängige Variable, Messgrößen) und davon jeweils nur einen Wert. Anders ist es bei zufälligen Fehlern, die erkannt werden, wenn von einer Eingangsgröße mehrere Werte vorliegen – gewonnen durch wiederholte Bestimmung (Messung) unter konstanten Bedingungen. Die Abschätzung zufälliger Fehler führt auf eine Komponente der Messunsicherheit. Ihre Bestimmung ist ein Ziel der Fehlerrechnung.

Bei Unsicherheiten der Eingangsgrößen lässt sich mittels der Fehlerfortpflanzungs-Regeln die Unsicherheit der Ausgangsgröße berechnen.

Bei Messgerätefehlern kann gemäß davon ausgegangen werden, dass der Betrag des zufälligen Fehlers wesentlich kleiner ist als die Fehlergrenze (anderenfalls ist auch der zufällige Fehler bei der Festlegung der Fehlergrenze zu berücksichtigen). Bei voneinander unabhängigen Messwerten, deren Qualität von den Fehlergrenzen der Messgeräte bestimmt wird, ist die Untersuchung zufälliger Fehler dann aber nicht sinnvoll.

Fehler des mathematischen Modells

Die zu berechnende Größe muss durch die mathematische Formel korrekt beschrieben werden. Um leichter rechnen zu können oder mangels vollständiger Kenntnis wird aber oft auf Näherungen ausgewichen.

Beispiel: Die Speisespannung im obigen Beispiel wird als bekannt angenommen, wie das bei Bezug aus einer Konstantspannungsquelle zulässig ist. Falls die Quelle aber belastungsabhängig ist, ist ihre Kenngröße „Leerlaufspannung“ nicht mehr die Speisespannung; es entsteht ein weiterer Fehler.

Ein Fehler der Ausgangsgröße, welcher aufgrund eines unzureichenden mathematischen Modells für den Zusammenhang mit den Eingangsgrößen entsteht, lässt sich mit Fehlerfortpflanzungs-Regeln nicht berechnen.

Regeln zur Fehlerfortpflanzung

Fehler

Eine fehlerbehaftete Größe

Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgröße auf das Ergebnis kann mittels der Taylorreihe abgeschätzt werden:

$y=y(x)\quad \Rightarrow \quad y(x+\Delta x)=y(x)+{\frac {1}{1!}}\ {\frac {dy(x)}{dx}}\cdot \Delta x+{\frac {1}{2!}}\ {\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}\cdot (\Delta x)^{2}+\cdots$

Bei genügend kleinem $|\Delta x|$ kann die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abgebrochen werden, weil Glieder mit $(\Delta x)^{2}$ und noch höheren Potenzen erst recht klein werden. Damit ergibt sich die Näherungslösung

$y(x+\Delta x)-y(x)=\Delta y={\frac {dy}{dx}}\cdot \Delta x$

Dieses liefert eine Regel zur Fehlerfortpflanzung, wenn die $\Delta$ -Werte als absolute Fehler angesehen werden.

Anwendung bei Proportionalität

$y=c\cdot x\quad \ \Rightarrow \quad \Delta y=c\cdot \Delta x\quad ;\quad {\frac {\Delta y}{y}}={\frac {\Delta x}{x}}$

Für die Ausgangsgröße enthält deren absoluter Fehler $\Delta y$ die spezielle Proportionalitätskonstante . Besser wird mit dem relativen Fehler $\Delta y/y$ gerechnet, der unabhängig von ist und stets genauso groß wie der relative Fehler $\Delta x/x$ der Eingangsgröße .

Anwendung bei umgekehrter Proportionalität (Kehrwertbildung)

$y={\frac {c}{x}}\quad \quad \Rightarrow \quad \Delta y=-c\cdot {\frac {\Delta x}{x^{2}}}\ ;\quad {\frac {\Delta y}{y}}=-{\frac {\Delta x}{x}}$

Der relative Fehler der Ausgangsgröße hat denselben Betrag wie der relative Fehler der Eingangsgröße, aber entgegengesetztes Vorzeichen.

Mehrere fehlerbehaftete Größen

Bei mehreren voneinander unabhängigen Eingangsgrößen wird die entsprechende Reihenentwicklung verwendet, ebenfalls bis zum linearen Glied als Näherungslösung für kleine $|\Delta x_{i}|$ :

$y=y(x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \dots )\quad \Rightarrow \quad \Delta y={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\cdot \Delta x_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\cdot \Delta x_{2}+\cdots$

$\Delta y$ :	Gesamtfehler $F_{y}$ des Ergebnisses
$\Delta x_{i}$ :	Fehler $F_{i}$ der Eingangsgröße $x_{i}$
${\frac {\Delta x_{i}}{x_{i}}}$ :	relativer Fehler $f_{i}$ der Eingangsgröße $x_{i}$
${\frac {\Delta y}y}$ :	relativer Fehler $f_{y}$ des Ergebnisses

Die allgemeine Lösung vereinfacht sich für die vier Grundrechenarten:

* Bei Addition	$y=x_{1}+x_{2}\qquad$	$F_{y}=F_{1}+F_{2}$
* Bei Subtraktion	$y=x_{1}-x_{2}$	$F_{y}=F_{1}-F_{2}$
* Bei Multiplikation	$y=x_{1}\cdot x_{2}$	$f_{y}=f_{1}+f_{2}$
* Bei Division	$y=x_{1}\,:\,x_{2}$	$f_{y}=f_{1}-f_{2}$

Hinweis: Dabei sind Angaben mit ungewissem Vorzeichen (±) keine Angaben von Fehlern; der Unterschied zwischen Fehler und Fehlergrenze ist zu beachten. Bei Fehlergrenzen und Messunsicherheiten gelten andere Sachverhalte, siehe dazu die nächsten Abschnitte.

Die Formeln gelten nur, wenn die tatsächlichen Werte der Fehler mit Vorzeichen bekannt sind. Bei Fehlerfortpflanzung können sich die Fehler mehr oder weniger ergänzen oder aufheben.

Beispiel: Wenn $x_{1}$ um 2 % zu groß und $x_{2}$ um 3 % zu groß sind:

Dann wird bei der Multiplikation um 5 % zu groß.

Dann wird bei der Division um 1 % zu klein.

Zur Verdeutlichung eine Primitiv-Anwendung: Wer ${\tfrac {1{,}00}{1{,}00}}$ ausrechnen will, aber im Zähler eine um 2 % zu große Zahl einsetzt und im Nenner eine um 3 % zu große Zahl, berechnet ${\tfrac {1{,}02}{1{,}03}}$ und erhält 0,99. Dieses Ergebnis weicht vom richtigen Wert 1,00 um –1 % ab. Diese Feststellung zum Fehler lässt sich mit der Formel $\quad f_{y}=f_{1}-f_{2}=2\,\%-3\,\%\quad$ einfacher bekommen. Und das Minuszeichen vor $f_{2}$ ist offensichtlich richtig!

Fehlergrenzen

Sind nicht die Fehler selber bekannt, sondern nur ihre Grenzen, so lässt sich derselbe mathematische Ansatz verwenden, wenn die $\Delta$ -Werte als Fehlergrenzen angesehen werden. Diese sind vorzeichenlos, also als Betrag definiert. Für das Ergebnis lässt sich so auch nur die Fehlergrenze ausrechnen; dazu ist mit der ungünstigsten Vorzeichenkombination zu rechnen, indem Beträge addiert werden.

$\Delta y=\left|{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\right|\cdot \Delta x_{1}+\left|{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\right|\cdot \Delta x_{2}+\cdots$

$\Delta y$ :	Gesamtfehlergrenze $G_{y}$ des Ergebnisses
$\Delta x_{i}$ :	Fehlergrenze $G_{i}$ der Eingangsgröße $x_{i}$
${\frac {\Delta x_{i}}{\|x_{i}\|}}$ :	relative Fehlergrenze $g_{i}$ der Eingangsgröße $x_{i}$
${\frac {\Delta y}{\|y\|}}$ :	relative Fehlergrenze $g_{y}$ des Ergebnisses

Die allgemeine Lösung vereinfacht sich bei den vier Grundrechenarten:

* Bei Addition und Subtraktion	$G_{y}=G_{1}+G_{2}$
* Bei Multiplikation und Division	$g_{y}\ =g_{1}+g_{2}$

Beispiel: Wenn $x_{1}$ um bis 2 % zu groß oder zu klein und $x_{2}$ um bis 3 % zu groß oder zu klein sein können:

Dann kann bei der Multiplikation wie bei der Division um bis 5 % zu groß oder zu klein sein.

Messunsicherheiten

Eine fehlerbehaftete Größe

Gibt es von der Größe mehrere mit zufälligen Fehlern behaftete Werte $v_{j}$ mit $j=1,\dotsc ,N$ , so ergibt sich nach den Regeln der Fehlerrechnung für Normalverteilung gegenüber dem Einzelwert eine verbesserte Aussage durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes ${\overline {v_{x}}}\,$ :

$\overline {v_{x}}={\frac 1N}\sum _{{j=1}}^{N}v_{j}$

Jeder neu hinzukommende Wert verändert mit seinem individuellen zufälligen Fehler den Mittelwert und macht ihn somit unsicher. Die Unsicherheit $u_{x\,}$ , die dem berechneten Mittelwert anhaftet, ist gegeben durch:

$u_{x}={\sqrt {{\frac {1}{N(N-1)}}\sum _{j=1}^{N}(v_{j}-{\overline {v_{x}}})^{2}}}$

Anschaulich sind hier näherungsweise die quadrierten zufälligen Fehler addiert worden. Für große strebt die Unsicherheit gegen null, und bei Abwesenheit systematischer Fehler strebt der Mittelwert gegen den richtigen Wert.

Wird in einer Rechnung zur Fehlerfortpflanzung als Eingangsgröße der Mittelwert ${\overline {v_{x}}}\,$ verwendet, so wirkt sich dessen Unsicherheit u_x auf die Unsicherheit $u_{y}$ des Ergebnisses aus. Bei genügend kleinem u_x kann dieser Wert für die Fehlerfortpflanzung als $\Delta x$ in die lineare Näherung der Taylorreihe eingesetzt werden. Dabei ist zu beachten, dass Unsicherheiten als Beträge definiert sind:

$\Delta y={\frac {dy}{dx}}\cdot \Delta x\qquad \qquad \Rightarrow \qquad \qquad u_{y}=\left|{\frac {dy}{dx}}\right|\cdot u_{x}$

Mehrere fehlerbehaftete Größen

Voneinander unabhängige fehlerbehaftete Größen

Bei mehreren voneinander unabhängigen Eingangsgrößen $x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \dotsc \$ seien die Mittelwerte jeweils mit einer Unsicherheit $u_{1}\,,\ u_{2}\,,\ \dotsc \$ bestimmt worden. Das Ergebnis wird aus den Mittelwerten berechnet. Zur Berechnung seiner Unsicherheit $u_{y}$ wird wieder mit der linearen Näherung bei mehreren unabhängigen Variablen begonnen; allerdings müssen – wie bei der Berechnung der Unsicherheit – die quadrierten Beiträge der Einzel-Unsicherheiten addiert werden.

$\Delta y={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\cdot \Delta x_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\cdot \Delta x_{2}+\cdots \ \Rightarrow \ {u_{y}}={\sqrt {\left({\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\cdot u_{1}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\cdot u_{2}\right)^{2}+\cdots }}$

Diese Gleichung „wurde früher „Gauß’sches Fehlerfortpflanzungsgesetz“ genannt“. „Sie betrifft jedoch nicht die Fortpflanzung von Messabweichungen (früher „Fehler“), sondern die von Unsicherheiten.“

Die Gleichung vereinfacht sich für die vier Grundrechenarten:

* Bei Addition und Subtraktion	$y=x_{1}+x_{2}-x_{3}\qquad$	$\quad {u_{y}}^{2}={u_{1}}^{2}+{u_{2}}^{2}+{u_{3}}^{2}$
* Bei Multiplikation und Division	$y=x_{1}\cdot x_{2}\,:\,x_{3}$	${\bigg (}{\frac {u_{y}}{y}}{\bigg )}^{2}={\bigg (}{\frac {u_{1}}{x_{1}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {u_{2}}{x_{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {u_{3}}{x_{3}}}{\bigg )}^{2}$

Das Gesetz ist nur anwendbar, wenn sich die Modellfunktion $y=y(x_{1}\,,\ x_{2}\,,\ \cdots )$ bei Änderungen der Einflussgrößen $x_{i}$ im Bereich ihrer Standardunsicherheiten $u_{i}$ hinreichend linear verhält. Ist dies nicht der Fall, ist das Rechenverfahren erheblich aufwändiger. Die Norm DIN 1319 und der „Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen“ geben Hinweise, wie eine unzulässige Nichtlinearität zu erkennen und zu umgehen ist. Außerdem ist Varianzhomogenität vorausgesetzt.

Voneinander abhängige fehlerbehaftete Größen

Bei einer Abhängigkeit (Korrelation) zwischen fehlerbehafteten Größen muss das Gauß’sche Fehlerfortpflanzungsgesetz unter Einbeziehung der Kovarianzen oder der Korrelationskoeffizienten zwischen jeweils zwei Größen zum verallgemeinerten (generalisierten) Gauß’schen Fehlerfortpflanzungsgesetz erweitert werden:

$u_{y}={\sqrt {\underbrace {\sum _{{i=1}}^{m}\left({\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}\cdot u_{i}\right)^{2}}_{{{\mathrm {wie~oben}}}}+2\underbrace {\sum _{{i=1}}^{{m-1}}\sum _{{k=i+1}}^{m}\left({\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x_{k}}}\right)\cdot u(x_{i},x_{k})}_{{{\mathrm {Korrelationsterme}}}}}}$

mit der Kovarianz $u(x_{i},x_{k})$ . Für unabhängige Größen fallen die Korrelationsterme weg und es ergibt sich die Formel aus dem Abschnitt für unabhängige Größen. Die relative Unsicherheit einer Größe, die sich aus zwei vollkommen korrelierten Größen ableitet, kann dabei kleiner (besser) werden als die beiden relativen Unsicherheiten der Eingangsgrößen.
Die Fehlerfortpflanzung für ein Ergebnis und den korrelierten Messfehlern, lässt sich auch folgender Maßen formulieren:

$u_{y}={\sqrt {\operatorname {grad} y\cdot V_{x}\cdot \operatorname {grad} y^{T}}}$

mit $V_{x}$ als Kovarianzmatrix.

Generalisiertes Fehlerfortpflanzungsgesetz

Mit Hilfe des Matrixformalismus kann das allgemeine Fehlerfortplanzungsgesetz kompakt ausgedrückt werden als:

$V_{y}=J(x)\cdot V_{x}\cdot J^{T}(x)$

wobei $V_{x}$ und $V_{y}$ die jeweiligen Kovarianzmatrizen der Vektoren ${\boldsymbol {x}}$ und ${\boldsymbol {y}}$ sind und die Jacobi-Matrix $J_{{ij}}(x)={\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}(x)$ . Dabei handelt es sich hier nicht nur um ein Ergebnis wie im oben genannten Beispiel, sondern um einen Vektor mit vielen Ergebnissen, die aus den Eingangsgrößen ${\boldsymbol {x}}$ abgeleitet werden. Die Standardabweichung für jedes $y_{i}$ ergibt sich nun aus den Wurzeln der Diagonalelemente ${\boldsymbol {u_{y}}}={\sqrt {\operatorname {diag} (V_{y})}}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de