Statistischer Test

Ein statistischer Test dient in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen. Formal ist ein Test also eine mathematische Funktion, die einem Beobachtungsergebnis eine Entscheidung zuordnet. Da die vorhandenen Daten Realisierungen von Zufallsvariablen sind, lässt sich in den meisten Fällen nicht mit Sicherheit sagen, ob eine Hypothese stimmt oder nicht. Man versucht daher, die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu kontrollieren, was einem Test zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau entspricht. Aus diesem Grund spricht man auch von einem Hypothesentest oder einem Signifikanztest.

Interpretation eines statistischen Tests

Ein statistisches Testverfahren lässt sich im Prinzip mit einem Gerichtsverfahren vergleichen. Das Verfahren hat (meistens) den Zweck, festzustellen, ob es ausreichend Beweise gibt, den Angeklagten zu verurteilen. Es wird dabei immer von der Unschuld eines Verdächtigen ausgegangen, und solange große Zweifel an den Belegen für ein tatsächliches Vergehen bestehen, wird ein Angeklagter freigesprochen. Nur wenn die Indizien für die Schuld eines Angeklagten deutlich überwiegen, kommt es zu einer Verurteilung.

Es gibt demnach zu Beginn des Verfahrens die beiden Hypothesen H_{0} „der Verdächtige ist unschuldig“ und H_{1} „der Verdächtige ist schuldig“. Erstere nennt man Nullhypothese, von ihr wird vorläufig ausgegangen. Die zweite nennt man Alternativhypothese. Sie ist diejenige, die zu „beweisen“ versucht wird.

Um einen Unschuldigen nicht zu leicht zu verurteilen, wird die Hypothese der Unschuld erst dann verworfen, wenn ein Irrtum sehr unwahrscheinlich ist. Man spricht auch davon, die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (also das Verurteilen eines Unschuldigen) zu kontrollieren. Naturgemäß wird durch dieses unsymmetrische Vorgehen die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (also das Freisprechen eines Schuldigen) „groß“. Aufgrund der stochastischen Struktur des Testproblems lassen sich wie in einem Gerichtsverfahren Fehlentscheidungen grundsätzlich nicht vermeiden. Man versucht in der Statistik allerdings optimale Tests zu konstruieren, die die Fehlerwahrscheinlichkeiten minimieren.

Ein einführendes Beispiel

Es soll versucht werden, einen Test auf hellseherische Fähigkeiten zu entwickeln.

Einer Testperson wird 25-mal die Rückseite einer rein zufällig gewählten Spielkarte gezeigt und sie wird jeweils danach gefragt, zu welcher der vier Farben (Kreuz, Pik, Herz, Karo) die Karte gehört. Die Anzahl der Treffer nennen wir X.

Da die hellseherischen Fähigkeiten der Person getestet werden sollen, gehen wir vorläufig von der Nullhypothese aus, die Testperson sei nicht hellsehend. Die Alternativhypothese lautet entsprechend: Die Testperson ist hellseherisch begabt.

Was bedeutet das für unseren Test? Wenn die Nullhypothese richtig ist, wird die Testperson nur versuchen können, die jeweilige Farbe zu erraten. Für jede Karte gibt es bei vier Farben eine Wahrscheinlichkeit von 1/4, die richtige Farbe zu erraten. Wenn die Alternativhypothese richtig ist, hat die Person für jede Karte eine größere Wahrscheinlichkeit als 1/4. Wir nennen die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Vorhersage p.

Die Hypothesen lauten dann:[1]

H_{0}\colon p={\frac  14}

und

H_{1}\colon p>{\frac  14}.

Wenn die Testperson alle 25 Karten richtig benennt, werden wir sie als Hellseher betrachten und natürlich die Nullhypothese ablehnen. Und mit 24 oder 23 Treffern auch. Andererseits gibt es bei nur 5 oder 6 Treffern keinen Grund dazu. Aber was wäre mit 12 Treffern? Was ist mit 17 Treffern? Wo liegt die kritische Anzahl an Treffern c, von der an wir nicht mehr glauben können, es seien reine Zufallstreffer?

Wie bestimmen wir also den kritischen Wert c? Mit c=25 (also dass wir nur hellseherische Fähigkeiten erkennen wollen, wenn alle Karten richtig erkannt worden sind) ist man deutlich kritischer als mit c=10. Im ersten Fall wird man eine Person als Hellseher ansehen, im zweiten Fall weit weniger.

In der Praxis kommt es also darauf an, wie kritisch man genau sein will, also wie oft man eine Fehlentscheidung erster Art zulässt. Mit c=25 ist die Wahrscheinlichkeit einer solchen Fehlentscheidung, also die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht hellseherische Testperson nur rein zufällig 25-mal richtig geraten hat:

{\displaystyle P(T\in A\mid H_{0}{\text{ ist richtig}})=P\left(X\geq 25\mid p={\tfrac {1}{4}}\right)=\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{25}\approx 10^{-15}},

also sehr klein. Hier stellt A den Ablehnbereich dar. Wir nehmen H_{0} an, wenn für die Teststatistik des Test gilt, dass {\displaystyle T\notin A} und lehnen H_{0} ab, wenn {\displaystyle T\in A}.

Weniger kritisch, mit c=10, erhalten wir mit der Binomialverteilung, B(\cdot \mid p,25)

{\displaystyle P(T\in A\mid H_{0}{\text{ ist richtig}})=P\left(X\geq 10\mid p={\tfrac {1}{4}}\right)=\sum _{i=10}^{25}B\left(i\mid {\tfrac {1}{4}},25\right)\approx 0{,}07},

eine wesentlich größere Wahrscheinlichkeit.

Vor dem Test wird eine Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art festgesetzt. Typisch sind Werte zwischen 1 % und 5 %. Abhängig davon lässt sich (hier im Falle eines Signifikanzniveaus von 1 %) dann c so bestimmen, dass

{\displaystyle P(T\in A\mid H_{0}{\text{ ist richtig}})=P\left(X\geq c\mid p={\tfrac {1}{4}}\right)\leq 0{,}01}

gilt. Unter allen Zahlen c, die diese Eigenschaft erfüllen, wird man zuletzt c als die kleinste Zahl wählen, die diese Eigenschaft erfüllt, um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art klein zu halten. In diesem konkreten Beispiel folgt: c=13. Ein Test dieser Art heißt Binomialtest, da die Anzahl der Treffer unter der Nullhypothese binomialverteilt ist.

Mögliche Fehlentscheidungen

Auch wenn es wünschenswert ist, dass der Test aufgrund der vorliegenden Daten „richtig“ entscheidet, besteht die Möglichkeit von Fehlentscheidungen. Im mathematischen Modell bedeutet dies, dass man bei richtiger Nullhypothese und Entscheidung für die Alternative einen Fehler 1. Art (α-Fehler) begangen hat. Falls man die Nullhypothese bestätigt sieht, obwohl sie nicht stimmt, begeht man einen Fehler 2. Art (β-Fehler).

In der statistischen Praxis macht man aus diesem vordergründig symmetrischen Problem ein asymmetrisches: Man legt also ein Signifikanzniveau α fest, das eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art liefert. Tests mit dieser Eigenschaft heißen Test zum Niveau \alpha >. Im Anschluss daran versucht man, einen optimalen Test zum vorgegebenen Niveau dadurch zu erhalten, dass man unter allen Tests zum Niveau α einen sucht, der die geringste Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art aufweist.

Die formale Vorgehensweise

Generell geht man bei der Anwendung eines Tests in folgenden Schritten vor:

  1. Formulierung einer Nullhypothese H_{0} und ihrer Alternativhypothese H_{1}
  2. Wahl des geeigneten Tests (Testgröße oder Teststatistik T)
  3. Bestimmung des kritischen Bereiches K zum Signifikanzniveau \alpha , das vor Realisierung der Stichprobe feststehen muss. Der kritische Bereich wird aus den unter der Nullhypothese nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auftretenden Werten der Teststatistik gebildet.
  4. Berechnung des Werts der Beobachtung t_{{\text{obs}}} der Testgröße T aus der Stichprobe (je nach Testverfahren etwa den t-Wert oder U oder H oder \chi ^{2}…).
  5. Treffen der Testentscheidung:
    • Liegt t_{{\text{obs}}} nicht in K, so wird H_{0} beibehalten.
    • Liegt t_{{\text{obs}}} in K, so lehnt man H_{0} zugunsten von H_{1} ab.

Formale Definition eines statistischen Testes

Sei X eine Zufallsvariable, die von einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega ,{\mathcal  {A}},{\mathbb  {P}}_{\theta }) in einen Messraum ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}}) abbildet. Sei zusätzlich {\mathcal  {P}}=\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \} die parametrische Verteilungsannahme, also eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}}), wobei eine Bijektion zwischen \mathcal{P} und \Theta existiert. Dabei ist P_{\theta }={\mathbb  {P}}_{\theta }\circ X^{{-1}} die Verteilung von X. Hierbei sei \Theta der Parameterraum, der in der Praxis meist eine Teilmenge des {\mathbb  {R}}^{d} mit d \in \mathbb{N} ist. Zwei disjunkte Teilmengen \Theta _{0} und \Theta _{1} von \Theta definieren das Testproblem:

wobei H_{0} die Nullhypothese und H_{1} die Alternativhypothese bezeichnet. Dabei bilden häufig, aber nicht notwendig, die beiden Mengen \Theta _{0} und \Theta _{1} eine Zerlegung von \Theta .

Eine messbare Funktion \varphi \colon {\mathcal  {X}}\rightarrow \{0,1\} heißt Test. Dieser Testfunktion \varphi legt man nun folgende Interpretation zugrunde:

Die Menge K_{\varphi }=\{x\in {\mathcal  {X}}\mid \varphi (x)=1\} derjenigen Beobachtungsergebnisse x, die zu einer Ablehnung von H_{0} führen, heißt kritischer Bereich des Tests.

Sei nun \alpha \in [0,1] ein Signifikanz-Niveau. Dann heißt ein Test \varphi ein Test zum Niveau \alpha für das Testproblem H_{0} gegen H_{1} (auch Niveau-\alpha -Test), wenn für alle \theta \in \Theta _{0} gilt

{\mathbb  {P}}_{\theta }(X\in K_{\varphi })\leq \alpha .

Alternativ wird \alpha auch als der Umfang des Tests bezeichnet.

In der Regel sucht man einen Test \varphi , dessen kritischer Bereich K_{\varphi } für alle {\tilde  {K}}\in {\mathcal  {F}}, die für alle \theta \in \Theta _{0} die Bedingung {\mathbb  {P}}_{\theta }(X\in {\tilde  {K}})\leq \alpha erfüllen, und für alle \theta \in \Theta _{1} die Optimalitätsbedingung

{\mathbb  {P}}_{\theta }(X\in {\tilde  {K}})\leq {\mathbb  {P}}_{\theta }(X\in K_{\varphi })

erfüllt.

Meistens ist X eine n-dimensionale Zufallsvariable mit Werten in {\displaystyle {\mathcal {X}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}, wobei n den Stichprobenumfang bezeichnet. Die formale Definition und die praktische Durchführung eines Tests basiert häufig auf einer eindimensionalen reellwertigen Teststatistik {\displaystyle T=T(X)}.

Asymptotisches Verhalten des Tests

In den meisten Fällen ist die exakte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese nicht bekannt. Man steht also vor dem Problem, dass kein kritischer Bereich zum vorgegebenen Niveau festgelegt werden kann. In diesen Fällen erweitert man die Klasse der zulässigen Tests auf solche, die asymptotisch das richtige Niveau besitzen. Formal bedeutet dies, dass man den Bereich K so wählt, dass für alle \theta \in H_{0} die Bedingung

\limsup _{{n\to \infty }}P_{{\theta }}(T(X)\in K)\leq \alpha

erfüllt ist. In der Regel erhält man solche asymptotischen Tests via Normalapproximation; man versucht also, die Teststatistik so zu transformieren, dass sie gegen eine Normalverteilung konvergiert.

Einfache Beispiele hierfür sind der einfache und doppelte t-Test für Erwartungswerte. Hier folgt die asymptotische Verteilung direkt aus dem zentralen Grenzwertsatz in der Anwendung auf das arithmetische Mittel. Daneben gibt es aber eine Reihe weiterer statistischer Methoden, die die Herleitung der asymptotischen Normalverteilung auch für kompliziertere Funktionale erlauben. Hierunter fällt die Deltamethode für nichtlineare, differenzierbare Transformationen asymptotisch normalverteilter Zufallsvariablen:

Sei c\colon R^{{p}}\rightarrow R^{{q}} eine differenzierbare Funktion und sei ein Schätzer {\hat  \beta }\in R^{{p}} \sqrt{n}-normalverteilt mit asymptotischer Kovarianzmatrix V, dann hat n^{{0,5}}({\hat  \beta }-\beta ) folgende Verteilung: {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,(\partial c/\partial \beta )'V(\partial c/\partial \beta ))}.

Ferner hat die nichtparametrische Deltamethode (auch: Einflussfunktionsmethode) einige Fortschritte gebracht:

Sei T(F) ein Funktional, das von der Verteilung F abhängt. Sei L(x)\equiv \lim _{{\delta \rightarrow 0}}(T((1-\delta )F+\delta G)-T(F))/\delta ) die Gâteaux-Ableitung der Statistik bei F (Einflussfunktion) und sei T Hadamard-differenzierbar bezüglich \sup _{x}|F(x)-G(x)|, dann hat {\sqrt  {n}}(T({\hat  F})-T(F)) folgende Verteilung: {\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0,\int L(x)^{2}\mathrm {d} F(x)\right)}.

Die Deltamethode erlaubt Normalverteilungsapproximationen für nichtlineare, differenzierbare Transformationen (asymptotisch) normalverteilter Zufallsvariablen, während die Einflussfunktionsmethode solche Approximationen für viele interessante Charakteristika einer Verteilung zulässt. Darunter fallen u.a. die Momente (also etwa: Varianz, Kurtosis usw.), aber auch Funktionen dieser Momente (etwa: Korrelationskoeffizient).

Eine wichtige weitere Anforderung an einen guten Test ist, dass er bei wachsendem Stichprobenumfang empfindlicher wird. In statistischen Termini bedeutet dies, dass bei Vorliegen einer konsistenten Teststatistik die Wahrscheinlichkeit dafür steigt, dass die Nullhypothese auch tatsächlich zu Gunsten der Alternativhypothese verworfen wird, falls sie nicht stimmt. Speziell wenn der Unterschied zwischen dem tatsächlichen Verhalten der Zufallsvariablen und der Hypothese sehr gering ist, wird er erst bei einem entsprechend großen Stichprobenumfang entdeckt. Ob diese Abweichungen jedoch von praktischer Bedeutung sind und überhaupt den Aufwand einer großen Stichprobe rechtfertigen, hängt von dem zu untersuchenden Aspekt ab.

Problem der Modellwahl

Die meisten mathematischen Resultate beruhen auf Annahmen, die bezüglich bestimmter Eigenschaften der beobachteten Zufallsvariablen gemacht werden. Je nach Situation werden verschiedene Teststatistiken gewählt, deren (asymptotische) Eigenschaften wesentlich von den Forderungen an die zu Grunde liegende Verteilungsfamilie abhängen. In der Regel müssen diese Modellannahmen zuvor empirisch überprüft werden, um überhaupt angewendet werden zu können. Kritisch ist dabei vor allem, dass die typischen Testverfahren strengen Voraussetzungen unterworfen sind, die in der Praxis selten erfüllt sind.

Typen und Eigenschaften von Tests

Parametrische und nichtparametrische Tests

Parametrische Tests (parametrisches Prüfverfahren)

Bei Parametertests interessieren konkrete Werte wie Varianz oder Mittelwert. Ein parametrisches Prüfverfahren macht also Aussagen über Grundgesamtheitsparameter oder die in der Verteilungsfunktion einer Untersuchungsvariablen auftretenden Konstanten. Dazu müssen alle Parameter der Grundgesamtheit bekannt sein (was oft nicht gegeben ist). Bei einem Parametertest hat jede der denkbaren Stichproben die gleiche Realisierungschance. Parametrische Tests gehen davon aus, dass die beobachteten Stichprobendaten einer Grundgesamtheit entstammen, in der die Variablen oder Merkmale ein bestimmtes Skalenniveau und eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung aufweisen, häufig Intervallskalenniveau und Normalverteilung. In diesen Fällen ist man also daran interessiert, Hypothesen über bestimmte Parameter der Verteilung zu testen.

Sofern die gemachten Verteilungsannahmen nicht stimmen, sind die Ergebnisse des Tests in den meisten Fällen unbrauchbar. Speziell lässt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art nicht mehr sinnvoll minimieren. Man spricht dann davon, dass für viele Alternativen die Trennschärfe sinkt.

Nichtparametrische Tests

Bei nichtparametrischen Tests (auch parameterfreie Tests oder Verteilungstests genannt) wird der Typ der Zufallsverteilung überprüft: Man entscheidet, ob eine aus n Beobachtungen oder Häufigkeitsverteilungen bestehende Nullhypothese, die man aus einer Zufallsstichprobe gezogen hat, mit einer Null-Hypothese vereinbar ist, die man über die Verteilung in der Grundgesamtheit aufgestellt hat. Nichtparametrische Tests kommen also mit anderen Vorannahmen aus, die Menge der für Hypothese und Alternative zugelassenen Verteilungen lässt sich nicht durch einen Parameter beschreiben.

Typische Beispiele:

Da jedoch parametrische Tests trotz Verletzung ihrer Annahmen häufig eine bessere Trennschärfe bieten als nichtparametrische, kommen letztere eher selten zum Einsatz.

Entscheidungsschema parametrischer/nichtparametrischer Test

Grundsätzlich wird ein parametrischer Test einer nichtparametrischen Alternative vorgezogen. Ein parametrischer Test verwendet mehr Informationen als ein nichtparametrischer Test, was die Testgüte erhöht (unter der Annahme, dass die zusätzlichen Informationen korrekt sind). Der nachfolgende Algorithmus (in Pseudocode) kann zur Auswahl eines parametrischen Tests bzw. einer nichtparametrischen Alternative angewandt werden. Wird STOP erreicht, wird der Algorithmus beendet.

  1. Ist die Variable nicht kardinal skaliert?
    1. Falls ja, dann nichtparametrisch testen. STOP.
  2. Eine grafische Überprüfung der Voraussetzungen durchführen. Sind die Testvoraussetzungen deutlich verletzt?
    1. Falls ja, dann prüfen, ob man mit einer Variablentransformation die Verletzung beheben kann. Macht eine entsprechende Transformation keinen Sinn, dann nichtparametrisch testen. STOP.
  3. Sind Testverzerrungen aufgrund der Stichprobencharakteristika zu erwarten?
    1. Falls ja, dann nichtparametrisch testen. STOP.
  4. Sonst parametrisch testen. Wird die Alternativhypothese H_{1} angenommen?
    1. Falls ja, dann die Alternativhypothese H_{1} annehmen. STOP.
  5. Überprüfung der Voraussetzungen des Tests mittels entsprechender Tests. Ist mindestens eine Voraussetzungen nicht erfüllt?
    1. Falls ja, dann die Nullhypothese H_{0} beibehalten. STOP.
  6. Zusätzlich nichtparametrisch testen. Wird das Ergebnis des parametrischen Test bestätigt?
    1. Falls ja, dann die Nullhypothese H_{0} beibehalten. STOP.
  7. Es wird die Alternativhypothese H_{1} angenommen. STOP.

Verteilungsfreie und verteilungsgebundene Tests

Bei verteilungsgebundenen oder parametrischen Tests hängt die Teststatistik T von der Verteilung der Stichprobenvariablen X_{i}, also ihrer Verteilung in der Grundgesamtheit, ab. Oft wird eine Normalverteilung vorausgesetzt. Ein Beispiel für einen verteilungsgebundenen Test ist der F-Test zum Vergleich von zwei Varianzen zweier normalverteilter Grundgesamtheiten.

Bei verteilungsfreien Tests, auch nichtparametrische oder parameterfreie Tests genannt, hängt die Teststatistik T nicht von der Verteilung der Stichprobenvariablen X_{i} ab. Ein Beispiel für einen verteilungsfreien Test ist der Levene-Test zum Vergleich von zwei Varianzen zweier beliebig verteilter Grundgesamtheiten.

Konservativer Test

Bei einem konservativen Test gilt für jede Stichprobe, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art (Annahme der Alternativhypothese als Ergebnis der Testentscheidung, obwohl die Nullhypothese wahr ist) kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau \alpha ist. Die Konsequenz ist, dass der Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese breiter ist als eigentlich notwendig. Damit wird die Nullhypothese seltener abgelehnt als durch das Signifikanzniveau \alpha vorgegeben. Man verhält sich konservativ und begünstigt die Annahme der Nullhypothese.

Ein Beispiel für einen konservativen Test ist der Binomialtest (Test auf Anteilswert, z.B. H_{0}\colon \pi \leq \pi _{0} vs. H_{1}\colon \pi >\pi _{0}). Aufgrund der Diskretheit der Teststatistik T kann man nicht erreichen, dass für den kritischen Wert c gilt: P(T>c)=\alpha . Stattdessen fordert man P(T>c)\leq \alpha . Man wählt also generell als kritischen Wert jenen Wert, der zu einem Signifikanzniveau von höchstens \alpha führt. Das vorgegebene Signifikanzniveau kann also praktisch erheblich unterschritten werden.

Exakter Test

Bei manchen Tests wird die Verteilung der Teststatistik – in der Regel zur einfacheren Berechnung – durch eine andere Verteilung approximiert. Verwendet man dagegen die exakte Stichprobenverteilung, so spricht man von einem exakten Test. Exakte Tests sind etwa der Fisher-Test oder der Binomialtest.

Ein Beispiel ist auch hier der Binomialtest (Test auf Anteilswert, z.B. H_{0}\colon \pi \leq \pi _{0} vs. H_{1}\colon \pi >\pi _{0}). Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes kann die binomialverteilte Teststatistik T mit der Normalverteilung approximiert werden, z.B. falls n\cdot \pi _{0}\cdot (1-\pi _{0})\geq 9 gilt. Unter Umständen ist in diesem Fall zur besseren Approximation die Anwendung einer Stetigkeitskorrektur notwendig.

Einseitige- und zweiseitige Tests

Im Falle eines eindimensionalen Parameters {\displaystyle  \theta } mit Werten im Parameterraum {\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} } spricht man in den beiden Fällen {\displaystyle H_{1}\colon \theta >\theta _{0}} und {\displaystyle H_{1}\colon \theta <\theta _{0}} von einer einseitigen Alternativhypothese und im Fall {\displaystyle H_{1}\colon \theta \neq \theta _{0}} von einer zweiseitigen Alternativhypothese. Dabei ist {\displaystyle \theta _{0}} ein spezifizierter Parameter in  \Theta . Im ersten Fall kann die Nullhypothese von der Form {\displaystyle H_{0}\colon \theta =\theta _{0}} oder {\displaystyle H_{0}\colon \theta \leq \theta _{0}} sein; im zweiten Fall kann die Nullhypothese von der Form {\displaystyle H_{0}\colon \theta =\theta _{0}} oder {\displaystyle H_{0}\colon \theta \geq \theta _{0}} sein; im dritten Fall ist die Nullhypothese {\displaystyle H_{0}\colon \theta =\theta _{0}}. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einseitigen und zweiseitigen Testproblemen oder kürzer von einseitigen und zweiseitigen Tests.

Übersicht Tests

Die wichtigsten Tests lassen sich nach verschiedenen Kriterien charakterisieren, z.B. nach

  1. Einsatzzweck, zB. das Testen von Parametern einer Verteilung oder der Verteilung selbst
  2. Anzahl der Stichproben
  3. Abhängigkeit oder Unabhängigkeiten der Stichproben
  4. Voraussetzungen über die Grundgesamtheit(en)

Falls nicht anders angegeben, wird bei allen Tests in der folgenden Übersicht davon ausgegangen, dass die Beobachtungen unabhängig und identisch verteilt sind. Es werden folgende Abkürzungen benutzt:

Nicht-parametrische Tests sind mit einem gelben Hintergrund gekennzeichnet.

Tests auf Lageparameter (Mittelwert, Median)

Test Test bzgl. Voraussetzung(en)
Für eine Stichprobe
Einstichproben-t-Test Mittelwert Normalverteilung in der GG oder die Verteilung genügt dem ZGS (Faustregel: Stichprobenumfang größer 30), Varianz der GG ist unbekannt
Einstichproben-Gauß-Test Mittelwert Normalverteilung in der GG oder die Verteilung genügt dem ZGS (Faustregel: Stichprobenumfang größer 30), Varianz der GG ist bekannt
Zweistichproben-Gauß-Test Mittelwerte Normalverteilung in den GGen oder die Verteilungen genügen dem ZGS (Faustregel: Gesamtstichprobenumfang mindestens 50), Varianzen in GGen sind bekannt und gleich
Zweistichproben-Gauß-Test Mittelwerte Die Differenz der Beobachtungen ist normalverteilt oder genügt dem ZGS (Faustregel: Stichprobenumfänge größer 30), Varianz der Differenz ist bekannt
Für mehrere unabhängige Stichproben
Varianzanalyse Mittelwerte Normalverteilte GGen, Varianzen in GGen sind gleich
Für mehrere abhängige Stichproben
Varianzanalyse mit wiederholten Messungen Mittelwert Normalverteilte GGen, Sphärizität

Tests auf Streuung

Test Test bzgl. Voraussetzung(en)
Für eine Stichprobe
F-Test Varianz Normalverteilte GG
Für zwei unabhängige Stichproben
F-Test Varianzen Normalverteilte GGen

Tests in der Regressions- und Zeitreihenanalyse

Test Test bzgl. Voraussetzung(en)
Lineare Regression
globaler F-Test „Bestimmtheitsmaß“ Normalverteilte Residuen
t-Test Regressionskoeffizient Normalverteilte Residuen

Anmerkungen

  1. Wir betrachten für p den Parameterbereich [1/4,1], um zu erreichen, dass Nullhypothese und Alternativhypothese den gesamten Parameterbereich überdecken. Bei absichtlichem Nennen einer falschen Farbe könnte man zwar auch auf Hellseh-Fähigkeiten schließen, aber wir nehmen an, dass die Testperson eine möglichst hohe Trefferzahl erzielen will.
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.05. 2020