Kollinearität

Kollinearität ist ein mathematischer Begriff, der in der Geometrie und in der linearen Algebra verwendet wird.

In der Geometrie nennt man Punkte, die auf einer Geraden liegen, kollinear. Die Kollinearität von Punkten spielt sowohl in der affinen Geometrie als auch in der projektiven Geometrie eine wichtige Rolle, da sie invariant unter bestimmten, als Kollineationen bezeichneter Abbildungen ist.

Kollineare Vektoren

In der linearen Algebra bedeutet Kollinearität bei Vektoren eines Vektorraums, dass der von diesen Vektoren aufgespannte Untervektorraum die Dimension 1 hat. Falls nur zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren betrachtet werden, ist Kollinearität gleichbedeutend damit, dass – vereinfacht gesprochen – jeder der beiden Vektoren durch Multiplikation mit einem Skalar, d.h. einer (richtungslosen) Zahl $\beta \in \R$ , in den jeweils anderen Vektor überführt werden kann und beide Vektoren damit gemäß folgender Gleichung linear abhängig sind:

$\vec{a} = \beta \cdot \vec{b} \Leftrightarrow \vec a - \beta \cdot \vec b = \vec 0$

Lässt man die beiden Vektoren am Koordinatenursprung beginnen, liegen beide auf einer Geraden, zeigen also beide in dieselbe (oder die exakt entgegengesetzte) Richtung und haben dabei nur verschiedene Längen.

Kollinearitätsuntersuchungen werden häufig bei der Untersuchung der Lagebeziehungen zwischen mehreren Geraden durchgeführt. Geraden mit kollinearen Richtungsvektoren sind entweder identisch oder „echt“ parallel.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de