Affine Geometrie

Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie, in der zwar das euklidische Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und Winkel keine Bedeutung haben. Der Begriff „affine Geometrie“ wird für das mathematische Teilgebiet und für die dadurch beschriebenen „Räume“ aus Punkten und Geraden (und daraus abgeleitet, Ebenen etc.) verwendet. Eine affine Geometrie als Raum wird auch als affiner Raum bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass jeder affine Raum, wie ihn die Lineare Algebra charakterisiert, auch den Anforderungen einer affinen Geometrie genügt, aber nicht umgekehrt. Die affine Geometrie verallgemeinert den bekannteren Begriff aus der Linearen Algebra. In diesem Artikel wird der allgemeinere Begriff, mit dem sich die synthetische Geometrie befasst, daher durchgehend als „affine Geometrie“ bezeichnet.

Im Sinne des Erlanger Programms von Felix Klein kann die affine Geometrie auch als Inbegriff der unter bijektiven affinen Abbildungen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt werden.

Definition

Von einer affinen Geometrie spricht man, wenn eine Menge von Punkten {\mathfrak  {P}}, eine Menge von Geraden {\mathfrak  {G}}, eine Inzidenzrelation \mathrm{I} zwischen {\mathfrak {P}} und {\mathfrak  {G}} sowie eine Parallelitätsrelation \| auf {\mathfrak  {G}} gegeben ist und folgende Axiome erfüllt werden:

  1. Durch zwei verschiedene Punkte A,\,B geht genau eine Gerade g (d.h. AIg und BIg), die Verbindungsgerade g=AB (auch g=A\lor B geschrieben).
  2. Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
  3. Die Parallelitätsrelation \parallel ist eine Äquivalenzrelation
  4. Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist.
  5. Wenn ein Dreieck (drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte) ABC gegeben ist und zwei Punkte A' und B' derart, dass die Gerade AB parallel zu der Geraden A'B' liegt, so gibt es einen Punkt C' so, dass auch AC parallel zu A'C' und BC parallel zu B'C' liegen.

Schreib- und Sprechweisen, Grundeigenschaften

Inzidenz mengentheoretisch

Ebenen

Wenn ein Dreieck ABC gegeben ist und zwei Punkte A' und B' derart, dass die Gerade AB parallel zu der Geraden A'B' liegt, dann schneiden sich (A';\parallel AC) und (B';\parallel BC).
  • Aus dem fünften Axiom kann man nun (mit einigem technischen Aufwand und mehreren Fallunterscheidungen) nachweisen, dass für Geraden, die in \varepsilon (ABC) liegen, gilt: Sind zwei Geraden der Ebene disjunkt, dann sind sie parallel. Damit erfüllen diese „Ebenen“ alle Axiome einer affinen Ebene.

Zusammenfassend gilt:

„Es gibt drei verschiedene Punkte aus {\mathfrak {P}} (ein „Dreieck“), die nicht alle auf einer Geraden aus {\mathfrak  {G}} liegen.“
erfüllt, enthält eine Ebene \varepsilon , so dass die Punkte auf dieser Ebene (als Punktmenge {\mathfrak  {P}}_{\varepsilon }={\mathfrak  {P}}\cap \varepsilon ) mit ihren Verbindungsgeraden ({\mathfrak  {G}}_{\varepsilon }=\{AB:(A,B)\in {\mathfrak  {P}}_{\varepsilon }\times {\mathfrak  {P}}_{\varepsilon }\;\land A\neq B\} als Geradenmenge) mit der eingeschränkten Parallelität (g\parallel _{\varepsilon }h\Leftrightarrow g\parallel h\land g,h\in {\mathfrak  {G}}_{\varepsilon }) die Axiome einer affinen Ebene erfüllen.

Beispiele

Eine höchstens nulldimensionale Geometrie kann als Vektorraum über jedem beliebigen Körper angesehen werden, ist also auch ein affiner Raum der gleichen Dimension. Aus jeder Menge M, die wenigstens zwei Elemente enthält, kann man eine eindimensionale affine Geometrie machen: {\mathfrak  {P}}=M;{\mathfrak  {G}}=\{M\},\parallel =\{(M,M)\}. Als eine affine Gerade über einem Körper kann diese genau dann angesehen werden, wenn der Körper sich bijektiv auf M abbilden lässt.
  • Die kleinste affine Geometrie, die eine Ebene enthält, ist die affine Ebene, die durch den zweidimensionalen Vektorraum über dem endlichen Körper {\mathbf  {F}}_{2} erzeugt werden kann. Sie besteht aus den Punkten {\mathfrak  {P}}=\{A,B,C,D\} und den Geraden {\mathfrak  {G}}=\{AB,AC,AD,BC,BD,CD\}, die Verbindungsgeraden bestehen hier genau aus den beiden angegebenen Punkten. Ferner gilt AB\parallel CD,AC\parallel BD,AD\parallel BC. → Siehe dazu auch die Abbildungen in Affine Ebene.

Desarguessche und nichtdesarguessche Geometrien

Alle durch Vektorräume über einem Körper und sogar alle auf die gleiche Weise durch Linksvektorräume über einem Schiefkörper erzeugten affinen Geometrien erfüllen den großen affinen Satz von Desargues, sie sind affine Räume im Sinne der linearen Algebra. Für mindestens dreidimensionale affine Geometrien gilt auch die Umkehrung: Sie lassen sich immer durch Linksvektorräume über einem Schiefkörper beschreiben. Es gibt aber auch ebene affine ("nichtdesarguessche") Geometrien (→ siehe Affine Ebene), die den desarguesschen Satz nicht erfüllen. Sie können mithin nicht durch einen Vektorraum erzeugt werden. Stattdessen kann man ihnen als Koordinatenbereich stets einen Ternärkörper zuordnen.

Einbettungsproblem und Koordinatenbereiche

Ein affiner Raum A (im Sinne der linearen Algebra) ist immer zusammen mit seinem Koordinatenbereich, einem (Schief-)Körper K und einem K-(Links-)Vektorraum V definiert (mit der Ausnahme des leeren affinen Raumes, der aber doch als Teilraum eines bestimmten Raumes zu einem Schiefkörper angesehen wird). In der linearen Algebra beschränkt man sich in der Regel auf Vektorräume über kommutativen Körpern, aber die wesentlichen geometrischen Tatsachen (außer dem Satz von Pappus) gelten auch allgemeiner für Linksvektorräume über Schiefkörpern.

Dadurch gilt für affine Räume:

  1. Der Raum hat eine bestimmte Dimension n={\mathrm  {dim}}(A), das ist die Dimension des Vektorraumes. Zusatzdefinition: Die leere Menge hat die Dimension -1.
  2. Durch die algebraische Struktur des Vektorraums ist bei jeder Dimension klar, was die strukturerhaltenden Selbstabbildungen sind: Sie lassen sich als Affinitäten im Wesentlichen durch die strukturerhaltenden Abbildungen der Vektorräume beschreiben. Berücksichtigt man allein die Inzidenzstruktur und nicht die Vektorraumstruktur, dann kommt man zur größeren Gruppe der (ebenentreuen[1]) Kollineationen, die aber für mindestens zweidimensionale affine Räume auch durch Affinitäten und Körperautomorphismen darstellbar ist.
  3. Zu jeder kleineren Dimension m als n\;(-1<m<n) gibt es affine Teilräume B\subset A, denen sich ein m-dimensionaler K-Unterraum zuordnen lässt.
  4. Zu jeder größeren Dimension M>n lässt sich A als Teilraum eines affinen Raumes der Dimension M auffassen, dem ein M-dimensionaler K-Vektorraum zugeordnet ist (Einbettung).

Für affine Geometrien gilt nun:

Genau in diesen Fällen werden die Begriffe affine Geometrie und affiner Raum gleichbedeutend. Man übernimmt in den Punkten 1. bis 4. einfach die Begriffe der linearen Algebra.

  1. Die Dimension der Geometrie ist vereinbarungsgemäß 2, denn die Geometrie hat mehr als eine Gerade (daher mehr als eindimensional) und disjunkte Geraden sind immer parallel (daher weniger als dreidimensional).
  2. Die strukturerhaltenden Abbildungen sind geradentreue (und damit im ebenen Fall trivialerweise auch parallelentreue) bijektive Selbstabbildungen der Ebene, die affinen Kollineationen.
  3. Jede Gerade der Ebene ist ein Teilraum und natürlich eine eindimensionale affine Geometrie, die einpunktigen Teilmengen sind 0-dimensionale Teilräume.
  4. Eine Einbettung in eine Geometrie mit höherer Dimension ist unmöglich.

Eine Verallgemeinerung des Begriffes affine Geometrie ist der Begriff schwach affiner Raum. Jede affine Geometrie ist auch ein schwach affiner Raum. Einige nichtdesarguessche affine Ebenen sind echte Teilräume von schwach affinen Räumen, obwohl solche Ebenen niemals in umfassendere affine Geometrien eingebettet werden können.

Anmerkungen

  1. Man kann zeigen, dass für einen Raum mit mehr als 2 Punkten auf jeder Geraden jede geradentreue, bijektive Selbstabbildung, also jede Kollineation, zugleich ebenentreu ist. Für Räume mit genau zwei Punkten auf jeder Geraden muss die Ebenentreue zusätzlich gefordert werden. Dieser Sonderfall ist im Artikel „Kollineation“ ausführlich dargestellt.
Trenner
Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
©  biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 06.01. 2020