Erlanger Programm

Das Erlanger Programm bezeichnet die von Felix Klein bei seinem Eintritt in die Universität Erlangen vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die Geometrie die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen anstrebt.

Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms

Felix Klein skizzierte eine Geometrie jenseits der euklidischen Geometrie, namentlich die hyperbolische Geometrie nach Lobatschewski, die später für die Relativitätstheorie in der Physik Bedeutung erlangte, sowie die elliptische Geometrie. Diese beiden nichteuklidischen Geometrien wurden bald darauf wichtig in der Differentialgeometrie.

Bei jeder der sich so ergebenden Geometrien bilden die zugehörigen Transformationen bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine Gruppe, die Transformationsgruppe der Geometrie. Die in der betreffenden Geometrie untersuchten Eigenschaften bleiben bezüglich aller Transformationen der Transformationsgruppe invariant.

Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der Bewegungen (also der Translationen, Drehungen oder Spiegelungen) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.

Neben den hier genannten klassischen Geometrien, die alle durch Einschränkung der Transformationsgruppe aus der projektiven Geometrie hervorgehen, kann man auf diese Art von der projektiven Geometrie auch zur elliptischen und zur hyperbolischen Geometrie gelangen, auch diese nichteuklidischen Geometrien lassen sich also nach dem Erlanger Programm klassifizieren. Allerdings reicht das Erlanger Programm nicht aus für eine vollständige Klassifizierung aller Geometrien: zum Beispiel kann die der allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegende Riemannsche Geometrie durch diese Klassifizierung nicht erfasst werden (Lie-Gruppen).

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 11.02. 2020