Parallelität (Geometrie)

In der euklidischen Geometrie definiert man: Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in einer Ebene liegen und einander nicht schneiden. Außerdem setzt man fest, dass jede Gerade zu sich selbst parallel sein soll.

Häufig wird von parallelen Geraden, die nicht zusammenfallen, gesagt, dass sie einander „im Unendlichen“ schneiden. Diese Aussage bekommt einen präzisen Sinn, wenn der euklidische Raum zu einem projektiven Raum erweitert wird.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum gilt ferner:

Analoge Sprechweisen gelten für euklidische und affine Geometrien in beliebiger Dimension und für die analytische Geometrie (die Geometrie in euklidischen Vektorräumen). Insbesondere sind zwei Geraden in einem Vektorraum parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig (oder proportional) sind.

Eigenschaften

In der ebenen euklidischen und affinen Geometrie gilt:

Diese Aussage wird das Parallelenaxiom genannt, da sie bei einem axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie als Axiom benötigt wird. In der analytischen Geometrie (Geometrie in euklidischen Vektorräumen) ist sie hingegen beweisbar (also ein Satz). In affinen Räumen beliebiger Dimension gilt:

In der euklidischen Geometrie gilt ferner bei beliebiger Dimension des Raumes:

Außerhalb der euklidischen Geometrie gilt: Ersetzt man das Parallelenaxiom durch die Forderung Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es mindestens zwei Geraden durch den Punkt, welche die gegebene Gerade nicht schneiden, so erhält man eine nichteuklidische Geometrie, nämlich die hyperbolische.

Verallgemeinerung für affine Räume

In einem n-dimensionalen affinen Raum A über einem Körper K können affine Teilräume A_1,A_2 als Nebenklassen von linearen Teilräumen U_1,U_2 < K^n des zu A gehörenden Koordinatenvektorraums beschrieben werden. Dann ist A_1=P_1+U_1 und A_2=P_2+U_2. Man definiert nun:

Allein mit geometrischen Begriffen kann Parallelität gleichwertig so definiert werden:

Vektoriell geschrieben entspricht \tau einem Verschiebungsvektor \vec{v}\in K^n (es kann zum Beispiel \vec{v}=\overrightarrow{P_1P_2} aus der ersten Darstellung gewählt werden) und die Aussage lautet dann

Meistens wird diese sehr allgemeine Definition auf affine Teilräume beschränkt, die mindestens eindimensional sind, da sonst im Sinne der Definition die leere Menge und einpunktige Mengen zu jedem beliebigen Teilraum parallel wären.

Eigenschaften

Verwandte Begriffe

Parallele Geraden und Kurve

Die Idee des parallelen Verlaufs wird auch in anderen Situationen verwendet, wobei meist die Charakterisierung durch den konstanten Abstand übertragen wird.

(in Vektorräumen:  x \mapsto x+a ).
Somit können auch Strecken und Halbgeraden parallel zueinander verlaufen, obwohl diese Sonderfälle durch die euklidische Definition nicht erfasst sind.
(für eine Kurve  \gamma(s) \in \mathbb{R}^2 sind das die Kurven  \gamma(s) \pm a n(s) , wenn  n(s) der normierte Normalvektor zu  \gamma(s) ist).
(Beispiel: konzentrische Kreise)
(In Vektorräumen:  K + B_r = \{ x + y \mid x \in K , y \in B_r \} , wobei  B_r = \{ y \mid \left\|y\right\| \le r \} die Kugel mit Radius r um den Ursprung ist.)

Verallgemeinerungen für endliche Geometrien

In der endlichen Geometrie wird das Konzept der Parallelität (als Äquivalenzrelation) in allgemeinerer Form auch für Blockpläne definiert. Endliche affine und projektive Geometrien können als spezielle Blockpläne aufgefasst werden. Die Einteilung der „Geraden“, die in der endlichen Geometrie auch als „Blöcke“ bezeichnet werden, in „Parallelenscharen“ wird in der Theorie der Blockpläne zum Konzept der Auflösung eines Blockplans verallgemeinert. Eine weitere Verallgemeinerung der Auflösung ist das Konzept der taktischen Zerlegung.

Siehe auch

Andere Lagebeziehungen von Geraden sind:

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 20.03. 2021