Komplanarität

Komplanarität oder Koplanarität ist ein Begriff aus der Geometrie – einem Teilbereich der Mathematik. Mehrere Punkte heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Drei Vektoren gelten als komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Einer der drei Vektoren lässt sich also als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen; komplanare Vektoren liegen in derselben Ebene.

Komplanaritätsuntersuchung

Zur Untersuchung der Komplanarität von Vektoren kann eine Komplanaritätsuntersuchung durchgeführt werden. Gegeben seien drei Vektoren ${\vec a},{\vec b},{\vec c}\in \mathbb{R} ^{n}$ . Für die Komplanarität muss die Gleichung $\alpha {\vec a}+\beta {\vec b}+\gamma {\vec c}={\vec 0}$ mit $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb{R}$ erfüllbar sein, wobei $\alpha ,\beta ,\gamma$ nicht gleichzeitig 0 sein dürfen. Die Lösung lässt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und den Unbekannten $\alpha ,\beta ,\gamma$ ermitteln.

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem Spatprodukt durchführen: Die Vektoren $\vec a, \vec b, \vec c$ sind komplanar wenn ihr Spatprodukt $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0$ ist. Auch gilt, dass $\det({\vec a},{\vec b},{\vec c})=0$ .

Beispiel

Drei Vektoren ${\vec a}={\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}},{\vec b}={\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}$ und ${\vec c}={\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}$ sollen auf Komplanarität untersucht werden.

Ansatz:

${\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}$ mit $r,s\in {\mathbb {R}}$

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:

${\begin{Bmatrix}2r+2s&=&2\\6r+0s&=&4\\7r+4s&=&6\end{Bmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{Bmatrix}2r+2s&=&2&(I)\\r&=&{\frac {2}{3}}&(II)\\7r+4s&=&6&(III)\end{Bmatrix}}$

Einsetzen des Ergebnisses für r in Gleichung (I) ergibt:

$2\cdot {\frac {2}{3}}+2s=2\Leftrightarrow 2s=2-{\frac {4}{3}}\Leftrightarrow 2s={\frac {2}{3}}\Leftrightarrow s={\frac {1}{3}}$

Gleichung (III) ist für $r={\frac {2}{3}}$ und $s={\frac {1}{3}}$ erfüllt:

$7\cdot {\frac {2}{3}}+4\cdot {\frac {1}{3}}=6\Leftrightarrow {\frac {14}{3}}+{\frac {4}{3}}=6\Leftrightarrow {\frac {18}{3}}=6\Leftrightarrow 6=6$

${\vec {a}}$ ist durch eine Linearkombination von ${\vec {b}}$ und $\vec c$ darstellbar:

${\vec a}={\frac {2}{3}}\cdot {\vec b}+{\frac {1}{3}}\cdot {\vec c}$

und es gilt:

$1\cdot {\vec a}-{\frac {2}{3}}\cdot {\vec b}-{\frac {1}{3}}\cdot {\vec c}={\vec 0}$

Somit sind ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ und $\vec c$ komplanar.

Verwendung

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgeführt.

Basierend auf einem Artikel in:

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