Lineare Unabhängigkeit

Linear unabhängige Vektoren in ℝ3
Linear abhängige Vektoren in einer Ebene in ℝ3

In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden. Äquivalent dazu ist (sofern die Familie nicht nur aus dem Nullvektor besteht), dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren der Familie darstellen lässt.

Andernfalls heißen sie linear abhängig. In diesem Fall lässt sich mindestens einer der Vektoren (aber nicht notwendigerweise jeder) als Linearkombination der anderen darstellen.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen euklidischen Raum \mathbb {R} ^{3} die Vektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) linear unabhängig. Die Vektoren (2,{-1},1), (1,0,1) und (3,{-1},2) sind hingegen linear abhängig, denn der dritte Vektor ist die Summe der beiden ersten, d.h. die Differenz von der Summe der ersten beiden und dem dritten ist der Nullvektor. Die Vektoren (1,2,{-3}), ({-2},{-4},6) und (1,1,1) sind wegen 2\cdot (1,2,{-3})+({-2},{-4},6)=(0,0,0) ebenfalls linear abhängig; jedoch ist hier der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar.

Definition

Es sei V ein Vektorraum über dem Körper K und I eine Indexmenge. Eine durch I indizierte Familie {\displaystyle ({\vec {v}}_{i})_{i\in I}} heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist.

Eine endliche Familie {\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}} von Vektoren aus V heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

{\displaystyle a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\dotsb +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}}

mit Koeffizienten a_{1},a_{2},\dots ,a_{n} aus dem Grundkörper K diejenige ist, bei der alle Koeffizienten a_{i} gleich null sind. Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Familie {\displaystyle ({\vec {v}}_{i})_{i\in I}} ist also genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge J\subseteq I gibt, sowie Koeffizienten (a_{j})_{j\in J}, von denen mindestens einer ungleich 0 ist, so dass

{\displaystyle \sum _{j\in J}a_{j}{\vec {v}}_{j}={\vec {0}}.}

Der Nullvektor {\vec  {0}} ist ein Element des Vektorraumes V. Im Gegensatz dazu ist 0 ein Element des Körpers K.

Der Begriff wird auch für Teilmengen eines Vektorraums verwendet: Eine Teilmenge S\subseteq V eines Vektorraums V heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Linearkombination von paarweise verschiedenen Vektoren aus S nur dann den Nullvektor darstellen kann, wenn alle Koeffizienten in dieser Linearkombination den Wert null haben. Man beachte folgenden Unterschied: Ist etwa {\displaystyle ({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2})} eine linear unabhängige Familie, so ist {\displaystyle ({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2})} offenbar eine linear abhängige Familie. Die Menge {\displaystyle \{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\}} ist dann aber linear unabhängig.

Andere Charakterisierungen und einfache Eigenschaften

Ermittlung mittels Determinante

Hat man n Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraums als Zeilen- oder Spaltenvektoren bzgl. einer festen Basis gegeben, so kann man deren lineare Unabhängigkeit dadurch prüfen, dass man diese n Zeilen- bzw. Spaltenvektoren zu einer n\times n-Matrix zusammenfasst und dann deren Determinante ausrechnet. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante ungleich 0 ist.

Basis eines Vektorraums

Hauptartikel: Basis (Vektorraum)

Eine wichtige Rolle spielt das Konzept der linear unabhängigen Vektoren bei der Definition beziehungsweise beim Umgang mit Vektorraumbasen. Eine Basis eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Basen erlauben es, insbesondere bei endlichdimensionalen Vektorräumen mit Koordinaten zu rechnen.

Beispiele

Einzelner Vektor

Der Vektor {\vec {v}} sei ein Element des Vektorraums V über K. Dann ist der einzelne Vektor \mathbf {v} für sich genau dann linear unabhängig, wenn er nicht der Nullvektor ist.

Denn aus der Definition des Vektorraums folgt, dass wenn

a\,\mathbf {v} =0 mit a\in K, \mathbf {v} \in V

nur a=0 oder \mathbf {v} =\mathbf {0} sein kann!

Vektoren in der Ebene

Die Vektoren \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}} und \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}} sind in \mathbb {R} ^{2} linear unabhängig.

Beweis: Für a,b\in \mathbb {R} gelte

a\,\mathbf {u} +b\,\mathbf {v} =\mathbf {0} ,

d.h.

a\,{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+b\,{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

Dann gilt

{\begin{pmatrix}a-3b\\a+2b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},

also

a-3b=0\ \wedge \ a+2b=0.

Dieses Gleichungssystem ist nur für die Lösung b=0 (die sogenannte triviale Lösung) erfüllt; d.h. u und v sind linear unabhängig.

Standardbasis im n-dimensionalen Raum

Im Vektorraum V=\mathbb {R} ^{n} betrachte folgende Elemente (die natürliche oder Standardbasis von V):

\mathbf {e} _{1}=(1,0,0,\dots ,0)
\mathbf {e} _{2}=(0,1,0,\dots ,0)
\dots
\mathbf {e} _{n}=(0,0,0,\dots ,1)

Dann ist die Vektorfamilie (\mathbf {e} _{i})_{i\in I} mit I=\{1,2,\dots ,n\} linear unabhängig.

Beweis:    Für a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} gelte

a_{1}\,\mathbf {e} _{1}+a_{2}\,\mathbf {e} _{2}+\dotsb +a_{n}\,\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .

Dann gilt aber auch

a_{1}\,\mathbf {e} _{1}+a_{2}\,\mathbf {e} _{2}+\dots +a_{n}\,\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ \dots ,a_{n})=\mathbf {0} ,

und daraus folgt, dass a_{i}=0 für alle i\in \{1,2,\dots ,n\}.

Funktionen als Vektoren

Sei V der Vektorraum aller Funktionen f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} . Die beiden Funktionen \mathrm {e} ^{t} und \mathrm {e} ^{2t} in V sind linear unabhängig.

Beweis: Es seien a,b\in \mathbb {R} und es gelte

a\,\mathrm {e} ^{t}+b\,\mathrm {e} ^{2t}=0

für alle t\in \mathbb {R} . Leitet man diese Gleichung nach t ab, dann erhält man eine zweite Gleichung

a\,\mathrm {e} ^{t}+2b\,\mathrm {e} ^{2t}=0

Indem man von der zweiten Gleichung die erste subtrahiert, erhält man

b\,\mathrm {e} ^{2t}=0

Da diese Gleichung für alle t und damit insbesondere auch für t=0 gelten muss, folgt daraus durch Einsetzen von t=0, dass b=0 sein muss. Setzt man das so berechnete b wieder in die erste Gleichung ein, dann ergibt sich

a\,\mathrm {e} ^{t}+0=0

Daraus folgt wieder, dass (für t=0) a=0 sein muss.

Da die erste Gleichung nur für a=0 und b=0 lösbar ist, sind die beiden Funktionen \mathrm {e} ^{t} und \mathrm {e} ^{2t} linear unabhängig.

Siehe auch: Wronski-Determinante

Reihen

Sei V der Vektorraum aller reellwertigen stetigen Funktionen f\colon (0,1)\to \mathbb {R} auf dem offenen Einheitsintervall. Dann gilt zwar

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},

aber dennoch sind {\tfrac {1}{1-x}},1,x,x^{2},\ldots linear unabhängig. Linearkombinationen aus Potenzen von x sind nämlich nur Polynome und keine allgemeinen Potenzreihen, insbesondere also in der Nähe von 1 beschränkt, so dass sich {\tfrac {1}{1-x}} nicht als Linearkombination von Potenzen darstellen lässt.

Zeilen und Spalten einer Matrix

Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten einer quadratischen Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix.

Rationale Unabhängigkeit

Reelle Zahlen, die über den rationalen Zahlen als Koeffizienten linear unabhängig sind, nennt man rational unabhängig oder inkommensurabel. Die Zahlen \lbrace 1,\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rbrace sind demnach rational unabhängig oder inkommensurabel, die Zahlen \lbrace 1,\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}},1+{\sqrt {2}}\rbrace dagegen rational abhängig.

Verallgemeinerungen

Die Definition linear unabhängiger Vektoren lässt sich analog auf Elemente eines Moduls anwenden. In diesem Zusammenhang werden linear unabhängige Familien auch frei genannt (siehe auch: freier Modul).

Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.05. 2021