Auflösung (Blockplan)

Eine Auflösung eines 2-Blockplanes (einer speziellen Inzidenzstruktur) ist in der endlichen Geometrie eine Verallgemeinerung des Parallelismus von Blockplänen. So ist die Partition der Menge der d-dimensionalen Unterräume als Blöcke einer affinen Geometrie $AG_{d}(n,q)$ in Parallelenscharen eine 1-Auflösung dieser Geometrie als 2-Blockplan. Ein Blockplan, der eine Auflösung zulässt, heißt auflösbarer Blockplan, zerfällt bei dieser Auflösung die Blockmenge in eine maximale Anzahl c von verallgemeinerten Parallelen-Scharen, dann spricht man von einer starken Auflösung und nennt den Blockplan stark auflösbar.

Definitionen

Sei ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$ -Blockplan. Eine Auflösung von ${\mathcal {I}}$ ist eine Partition der Blockmenge ${\mathfrak {B}}$ von ${\mathcal {I}}$ in Scharen $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ , so dass es positive ganze Zahlen $\{\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}\}$ gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in ${\mathfrak {p}}$ auf genau $\rho _{i}$ Blöcken von ${\mathfrak {B}}_{i}$ liegt. Die Zahlen $\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}$ heißen die Parameter der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich $\rho$ , so spricht man von einer $\rho$ -Auflösung.
Ein Blockplan heißt auflösbar bzw. $\rho$ -auflösbar, wenn er eine Auflösung bzw. eine $\rho$ -Auflösung besitzt.
Ist ${\mathcal {I}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen und gilt , dann wird diese Auflösung starke Auflösung des Blockplanes und der Blockplan stark auflösbar genannt.
Sind $B,C\in {\mathfrak {B}}_{i}$ zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse ${\mathfrak {B}}_{i}$ , dann schreibt man auch $B\parallel C$ und nennt die Blöcke parallel bezüglich der Auflösung. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke.
Für eine Auflösung $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ setzt man $m_{i}=|{\mathfrak {B}}_{i}|,1\leq i\leq c$ für die Anzahl der Blöcke in der Schar ${\mathfrak {B}}_{i}$ .

Eigenschaften

Sei ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$ -Blockplan, der eine Auflösung $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ mit den Parametern $\rho _{1},\ldots ,\rho _{c}$ besitzt. Dann gilt

$m_{i}\cdot k=v\cdot \rho _{i},\quad (1\leq i\leq c),$
$\rho _{1}+\cdots +\rho _{c}=r,\quad m_{1}+\cdots +m_{c}=b,$
Besitzt ${\mathcal {I}}$ eine $\rho$ -Auflösung, so ist k ein Teiler von $v\cdot \rho$ und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blöcken.

Ist ${\mathcal {I}}$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen, dann ist $b+1\geq v+c$ . Eine starke Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge ${\mathfrak {B}}$ von ${\mathcal {I}}$ größtmöglichen Anzahl an Scharen.

Satz von Hughes und Piper über starke Auflösungen

Der folgende Satz von Hughes und Piper charakterisiert die starken Auflösungen:

Sei ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$ -Blockplan mit b Blöcken, der eine Auflösung $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ besitzt. Dann gilt $b+1\geq v+c$ und Gleichheit genau dann, wenn es zwei nichtnegative Zahlen $\mu _{I}$ („innere Schnittzahl“) und $\mu _{A}$ („äußere Schnittzahl“) mit folgenden Eigenschaften gibt:

Je zwei verschiedene Blöcke derselben Klasse haben stets genau $\mu _{I}$ Schnittpunkte und
je zwei Blöcke aus verschiedenen Klassen haben stets genau $\mu _{A}$ Schnittpunkte.

Satz von Beker über auflösbare 3-Blockpläne

Der Satz von Beker klärt die Frage, wann ein stark auflösbarer Blockplan ein 3-Blockplan ist:

Die stark auflösbaren 3-Blockpläne sind genau die Hadamard 3-Blockpläne.

Beispiele

Jeder Blockplan ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ besitzt die triviale Auflösung $\{{\mathfrak {B}}\}$ , d.h. jeder Blockplan ist r-auflösbar. - Die Zahl $r=b_{1}$ gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
Ist $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ eine Auflösung von ${\mathcal {I}}$ , dann erhält man wieder eine Auflösung von ${\mathcal {I}}$ , wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind $\{{\mathfrak {B}}_{1}\cup {\mathfrak {B}}_{2},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ und $\{{\mathfrak {B}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {B}}_{{c-1}},{\mathfrak {B}}_{c}\}$ wieder Auflösungen von ${\mathcal {I}}$ .
Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung $\{{\mathfrak {B}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {B}}_{c}\}$ ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt $c=r=b_{1}$ , die innere Schnittzahl ist dann $\mu _{I}=0$ , die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.

Speziell ist eine affine Geometrie $AG_{d}(n,q)$ mit ihrem gewöhnlichen Parallelismus 1-auflösbar und es gilt dann $m_{i}=b/r$ , das heißt die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich, die äußere Schnittzahl ist konstant, falls , also die Blockmenge die Menge der Hyperebenen des Raumes ist.
Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1-auflösbar, auch hier ist $m_{i}=b/r$ für jede Parallelenschar gleich.

Verallgemeinerung: Taktische Zerlegung

Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ zerlegt.

Literatur

Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie I. Blockpläne. Bibliographische Institut, Mannheim/Wien/Zürich/New York 1982, ISBN 3-411-01632-9, Kapitel 5. Auflösungen und Zerlegungen, S. 196–240.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de