Invariante (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter einer Invariante eine zu einem Objekt assoziierte Größe, die sich bei einer jeweils passenden Klasse von Modifikationen des Objektes nicht ändert. Invarianten sind ein wichtiges Hilfsmittel bei Klassifikationsproblemen: Objekte mit unterschiedlichen Invarianten sind wesentlich verschieden; gilt auch die Umkehrung, d.h. sind Objekte mit gleichen Invarianten im Wesentlichen identisch, so spricht man von einem vollständigen Satz von Invarianten oder von trennenden Invarianten.

Einführendes Beispiel

Die betrachteten Objekte sind Paare (x,y) reeller Zahlen, erlaubte Modifikationen bestehen darin, zu beiden Zahlen dieselbe beliebig gewählte Zahl zu addieren:

(x,y)\quad\longmapsto\quad(x',y')=(x+z,y+z).

Eine Invariante ist in diesem Fall die Differenz x-y der beiden Zahlen:

x' - y' = (x+z) - (y+z) = x - y.

Eine Interpretation dieses Beispiels könnte sein: x und y sind die Anfangs- und Endpunkt einer Stange, gemessen von einem festen Punkt in der Verlängerung der Stange. Die Modifikationen entsprechen einer Verschiebung der Stange um z, die Invariante ist die Länge der Stange.

In diesem Beispiel genügt bereits diese eine Invariante für eine vollständige Klassifikation: Zwei Zahlenpaare (x_1,y_1) und (x_2,y_2) gehen genau dann auseinander hervor, das heißt, es gibt ein z, so dass

x_1 + z = x_2 und y_1 + z = y_2,

wenn die Längen übereinstimmen:

x_1 - y_1 = x_2 - y_2.

(Beweis: Setze z = x_2 - x_1, dann ist y_1+z=x_2-(x_1-y_1)=x_2-(x_2-y_2)=y_2.)

Weitere Beispiele

Invarianten unter Operationen

Bei Gruppenoperationen spricht man ebenfalls von Invarianten: Ist X eine Punktmenge mit einer Operation der Gruppe G, so heißen die Punkte, die invariant bleiben,

x\in X :\, gx=x\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ g\in G

Fixpunkte oder die G-invarianten Punkte.

Allgemeiner ist jede Bahn durch einen Punkt x\,, die durch die Gruppenoperation entsteht,

Gx=\{y\in X \mid\, y=gx\,, g\in G\}

invariant unter der Gruppenoperation.

Weiterführende Themen

In der theoretischen Physik stellt das Noether-Theorem einen Zusammenhang zwischen Symmetrien der Wirkung und Invarianten der Zeitentwicklung her. Diese nennt man in der Physik Erhaltungsgrößen (Beispiele: Energie, Impuls, Drehimpuls). „Relativistische Invarianz“, d.h. Invarianz gegen Lorentztransformationen besitzen viele (per Postulat: alle) physikalischen Theorien, darunter an prominentester Stelle die Maxwellsche Elektrodynamik und natürlich die Relativitätstheorien Albert Einsteins. Im Gegensatz zur Mathematik steht aber letzten Endes nicht Axiomatik dahinter, sondern wenige besonders aussagekräftige Experimente wie das Michelson-Morley-Experiment der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
 
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 21.06. 2021