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Rationale Funktion

rot: Graph der gebrochenrationalen Funktion f(x)={\tfrac  {2(x+2)(x+1)(x-1)^{2}}{(x+1)(2x-1)}}
blau: Polgerade durch die Polstelle bei x=0{,}5
grün: Asymptotenfunktion g(x)=x^{2}+x/2-11/4, stetig behebbare Definitionslücke bei x=-1

Eine rationale Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Term sich in der Form

f(x)={\frac  {a_{z}x^{z}+a_{{z-1}}x^{{z-1}}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{{n-1}}x^{{n-1}}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}}}={\frac  {P_{z}(x)}{Q_{n}(x)}}

mit natürlichen Zahlen z schreiben lässt, also als Quotient zweier Polynome darstellbar ist. Die Funktion ist also ein Quotient zweier ganzrationaler Funktionen. Die Zahlen a_{z},\dotsc ,a_{0},b_{n},\dotsc ,b_{0} können beliebige reelle Zahlen (oder auch komplexe Zahlen) sein; die einzige Einschränkung ist, dass b_{n}\neq 0 sein muss. Die rationalen Funktionen gehören zu den meromorphen Funktionen.

Einteilung

Beispiele für rationale Funktionen mit unterschiedlichen Zählergraden z und Nennergraden n:

Beispiel alternative Schreibweise z = n = Funktionstyp
f\colon x\mapsto {\frac  {3x^{3}-4x+5}{2}} f\colon x\mapsto {\frac  {3}{2}}x^{3}-2x+{\frac  {5}{2}} 3 0 ganzrational
f\colon x\mapsto {\frac  {2x-1}{x^{2}+1}}   1 2 echt gebrochenrational
f\colon x\mapsto {\frac  {(x-1)^{2}\cdot (x+2)}{x\cdot (2-3x^{2})}} f\colon x\mapsto {\frac  {x^{3}-3x+2}{2x-3x^{3}}} 3 3 unecht gebrochenrational
f\colon x\mapsto x+1+{\frac  {1}{x-1}} f\colon x\mapsto {\frac  {x^{2}}{x-1}} 2 1 unecht gebrochenrational

Asymptotisches Verhalten

Für das Verhalten für x gegen Unendlich sind die Grade z bzw. n des Zähler- bzw. Nenner-Polynoms entscheidend:

Für x\to\infty geht f(x)

Für x\to -\infty ergibt sich im zweiten und dritten Fall jeweils derselbe Grenzwert wie für x\to \infty . Im ersten Fall muss man Zähler- und Nennergrad noch genauer berücksichtigen:

Wie weiter unten beschrieben, kann man im ersten Fall den Funktionsterm mittels Polynomdivision immer in ein Polynom und einen echt gebrochenrationalen Term zerlegen; das Polynom beschreibt dann eine sogenannte Asymptotenkurve. (Das Verhalten der Funktionswerte für {\displaystyle x \to \pm \infty} kann man dann auch einfacher erhalten, indem man nur das Verhalten der Asymptotenkurve untersucht.) Im Sonderfall z=n+1 ergibt sich eine schräg verlaufende Asymptote.

Beispiele:

Kurvendiskussion

Anhand des Funktionsterms der rationalen Funktion f={p \over q}\colon x\mapsto {\frac  {p(x)}{q(x)}} lassen sich folgende Aussagen zum Funktionsgraphen machen (Kurvendiskussion).

Symmetrie

Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) ist gerade/ungerade, wenn alle Exponenten gerade/ungerade sind. Sind Zählerpolynom p und Nennerpolynom q von einem dieser beiden Typen, so ist auch die rationale Funktion f gerade oder ungerade:

In allen anderen Fällen, wenn also Zähler- oder Nennerfunktion oder beide weder gerade noch ungerade sind, sind Symmetrieeigenschaften von f schwieriger zu entscheiden. (Siehe auch Symmetrie in der Geometrie).

Beispiele:

also insgesamt: f(1+x)-1=1-f(1-x), was eben gerade Symmetrie zum Punkt P(1|1) bedeutet. Alternativ kann man auch zeigen, dass der Graph von f aus dem Graph der Funktion g\colon x\mapsto {\frac  {1}{x}} (welcher symmetrisch zum Ursprung ist) durch Verschieben um 1 in x-Richtung und um 1 in y-Richtung hervorgeht.

Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen

Die gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen der Nennerfunktion q nicht definiert.

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion werden durch diejenigen Nullstellen der Zählerfunktion p bestimmt, die zum Definitionsbereich der gesamten Funktion gehören.

Ein Spezialfall ergibt sich, wenn eine reelle Zahl a\in \mathbb{R} gleichzeitig Nullstelle des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist. Dann sind Zähler- und Nennerpolynom durch den zugehörigen Linearfaktor x-a (eventuell sogar mehrfach) teilbar, das heißt, der Funktionsterm kann mit diesem Faktor (eventuell mehrfach) gekürzt werden.

Beispiele:

Asymptote

Durch die Polynomdivision von p durch q erhält man p = g\cdot q + r mit Polynomen g und r, wobei der Grad von r kleiner als der von q ist. Das asymptotische Verhalten von

f={p \over q}=g+{r \over q}

ist damit durch die ganzrationale Funktion ("Asymptotenfunktion") g bestimmt (die konkrete Durchführung der Polynomdivision ist nur bei 3. und 4. notwendig):

  1. z<n → x-Achse ist Asymptote: g(x) = 0
  2. z=n → waagerechte Asymptote: g(x) = \frac{a_z}{b_n}
  3. z=n+1 → schräge Asymptote: g(x) = mx + c \,; m \ne 0 (Spezialfall von 4)
  4. z>n+1 → ganzrationale Näherungsfunktion

Ableitung

Zum Ableiten gebrochenrationaler Funktionen muss man im Allgemeinen die Quotientenregel verwenden; zusätzlich kann auch oft die Kettenregel nützlich sein, beispielsweise wenn die Nennerfunktion eine Potenz eines Binoms ist. Vor dem Ableiten empfiehlt es sich oft, den Funktionsterm zunächst mit Hilfe einer Polynomdivision umzuschreiben und den übrigen echt gebrochenrationalen Term zu kürzen.

Beispiele:

und damit insgesamt für die Ableitungsfunktion von f:
f'(x)={\frac  {2\cdot (x^{2}+1)^{2}-(2x-1)\cdot 4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}}.
Nun kann man im Zähler einen Faktor (x^{2}+1) ausklammern und kürzen:
f'(x)={\frac  {2\cdot (x^{2}+1)-(2x-1)\cdot 4x}{(x^{2}+1)^{3}}}.
Vereinfachen des Zählers führt schließlich auf
f'(x)={\frac  {-6x^{2}+4x+2}{(x^{2}+1)^{3}}}.
woran man auch gleich die Gleichung der schrägen Asymptote ablesen kann:
y={\frac  {1}{3}}x-1.
Faktorisieren von Zähler und Nenner führt dann auf
f(x)={\frac  {1}{3}}x-1+{\frac  {(x+2)(x-2)}{3x(x+2)^{2}}},
man kann also einen Faktor (x+2) kürzen. Schließlich hat man:
f(x)={\frac  {1}{3}}x-1+{\frac  {x-2}{3x^{2}+6x}};
in dieser Form kann man die Funktion nun deutlich leichter ableiten als in der ursprünglich gegebenen.
Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich:
f'(x)={\frac  {1}{3}}+{\frac  {1\cdot (3x^{2}+6x)-(x-2)\cdot (6x+6)}{(3x^{2}+6x)^{2}}}={\frac  {1}{3}}+{\frac  {-3x^{2}+12x+12}{(3x^{2}+6x)^{2}}}={\frac  {1}{3}}+{\frac  {-x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}.
Setzt man die erste Ableitung gleich Null, um die Extremstellen zu suchen, so empfiehlt es sich vorher, die beiden Brüche wieder zusammenzufassen:
f'(x)={\frac  {x^{2}(x+2)^{2}-x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}={\frac  {x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}.

Stammfunktion

Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen ist es bei gebrochenrationalen Funktionen oft relativ schwierig, eine Stammfunktion zu finden. Dafür kann man, je nach Form der gebrochenrationalen Funktion, unter anderem folgende Regeln anwenden (meist muss man den Funktionsterm durch Umformungen und/oder Substitution zunächst in eine passende Form bringen):

\int {\frac  {1}{mx+a}}dx={\frac  {1}{m}}\cdot \ln(mx+a)+C für m,a\in {\mathbb  {R}},m\neq 0
\int {\frac  {1}{(mx+a)^{n}}}dx={\frac  {1}{m}}\cdot {\frac  {-1}{n-1}}\cdot {\frac  {1}{(mx+a)^{{n-1}}}}+C für m,a\in {\mathbb  {R}},m\neq 0,n\in {\mathbb  {N}}\setminus \{0;1\}
\int {\frac  {1}{x^{2}+1}}dx=\arctan(x)+C oder =-{\rm {arccot(x)+C}}
\int {\frac  {1}{x^{2}-1}}dx=\operatorname {artanh}(x)+C={\frac  {1}{2}}\ln \left({\frac  {1+x}{1-x}}\right) für |x| < 1
\int {\frac  {1}{x^{2}-1}}dx=\operatorname {arcoth}(x)+C={\frac  {1}{2}}\ln \left({\frac  {x+1}{x-1}}\right) für |x| > 1
\int {\frac  {u'(x)}{u(x)}}dx=\ln |u(x)|+C für u(x)\neq 0

Oft kann für die Bestimmung einer Stammfunktion auch die Partialbruchzerlegung hilfreich sein. Beispiele:

Anwenden der ersten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
F(x)={\frac  {5}{3}}x-{\frac  {13}{9}}\ln(9x+6).
Anwenden der vierten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
F(x)=x+2\cdot \operatorname {artanh}(x).
Anwenden der letzten Regel liefert dann als mögliche Stammfunktion:
F(x)={\frac  {1}{2}}\ln(x^{2}+4x+5).

Anwendungen

Rationale Funktionen haben vielfältige Anwendungen in Naturwissenschaften und Technik:

Abweichende Bedeutung in der abstrakten Algebra

In der abstrakten Algebra wird der Begriff einer rationalen Funktion in einem allgemeineren und etwas unterschiedlichen Sinne verwendet. Und zwar versteht man unter einer rationalen Funktion in n Variablen X_1, X_2, \dotsc, X_n über einem Körper K ein Element des Quotientenkörpers des Polynomrings K\left[X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}\right]. Dieser Quotientenkörper wird Rationaler Funktionenkörper genannt. Im Allgemeinen ist eine rationale Funktion also keine Funktion irgendeiner Art, sondern ein (formaler) Bruch aus zwei Polynomen. Der Unterschied macht sich allerdings nur über endlichen Körpern bemerkbar: So ist z. B. für jede Primzahl p über dem endlichen Körper \mathbb {F} _{p} (dem Körper aller Restklassen ganzer Zahlen modulo p) der Bruch {\tfrac  {1}{X^{p}-X}} eine wohldefinierte rationale Funktion in der Variablen X, aber keine Funktion im eigentlichen Sinne des Begriffes, weil man in diese Funktion keinen einzigen Wert einsetzen darf, ohne dass der Nenner 0 wird. (Denn setzt man irgendein x\in {\mathbb  F}_{p} in diese „Funktion“ ein, erhält man {\tfrac  {1}{x^{p}-x}}, was undefiniert ist, weil der Nenner x^{p}-x nach dem kleinen Fermatschen Satz gleich 0 ist.) Über unendlichen Körpern allerdings ist eine rationale Funktion immer eine Funktion, die zwar eine Definitionslücke haben kann, aber diese Definitionslücke ist nur sehr klein im Vergleich zum Definitionsbereich. Dieser Gedanke wird mit dem Begriff der Zariski-Topologie formalisiert: Die Definitionslücke ist eine Zariski-abgeschlossene Menge, und die abgeschlossene Hülle des Definitionsbereiches ist die ganze Menge.

Der Körper der rationalen Funktionen auf einer algebraischen Varietät

Sei V eine algebraische Varietät definiert durch Polynome f_{1},\dotsc ,f_{m}\in k\left[x_{1},\dotsc ,x_{n}\right], also

V=\{x\in {\mathbb  A}^{n}\mid f(x)=0{\text{ für alle }}f\in S\}.

Sei

I(V)=\{f\in k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in V\}.

Der Ring der ganzen Funktionen ist k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]/I(V). Der Körper der rationalen Funktionen ist der Quotientenkörper des Ringes der ganzen Funktionen.

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Basierend auf einem Artikel in: externer Link Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.12. 2020