Meromorphe Funktion

Meromorphie ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden.

Für viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der holomorphen Funktion zu speziell. Dies liegt daran, dass der Kehrwert {\tfrac  1f} einer holomorphen Funktion f an einer Nullstelle von f eine Definitionslücke hat und somit {\tfrac  1f} dort auch nicht komplex differenzierbar ist. Man führt daher den allgemeineren Begriff der meromorphen Funktion ein, die auch isolierte Polstellen besitzen kann.

Meromorphe Funktionen lassen sich lokal als Laurentreihen mit abbrechendem Hauptteil darstellen. Ist U ein Gebiet von \mathbb {C} , so bildet die Menge der auf U meromorphen Funktionen einen Körper.

Definition

Auf dem Körper der komplexen Zahlen

Es sei D eine nichtleere offene Teilmenge der Menge \mathbb {C} der komplexen Zahlen und P_{f} eine weitere Teilmenge von \mathbb {C} , die nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Funktion f heißt meromorph, wenn sie für Werte aus D\setminus P_{f} definiert und holomorph ist und für Werte aus P_{f} Pole hat. P_{f} wird als Polstellenmenge von f bezeichnet.

Auf einer riemannschen Fläche

Sei X eine riemannsche Fläche und Y eine offene Teilmenge von X. Unter einer meromorphen Funktion auf Y verstehen wir eine holomorphe Funktion {\displaystyle f\colon Y'\rightarrow \mathbb {C} }, wobei Y'\subset Y eine offene Teilmenge ist, so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

{\displaystyle \lim _{x\rightarrow p}|f(x)|=\infty }.

Die Punkte aus der Menge {\displaystyle Y\setminus Y'} werden Pole von f genannt. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf Y wird mit {\displaystyle {\mathcal {M}}(Y,\mathbb {C} )} bezeichnet und bildet, falls Y zusammenhängend ist, einen Körper. Diese Definition ist natürlich äquivalent zur Definition auf den komplexen Zahlen, falls X eine Teilmenge derer ist.

Beispiele

meromorph. Die Polstellenmenge ist hier jeweils eine Teilmenge der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms.

Wichtige Sätze über meromorphe Funktionen sind: Satz von Mittag-Leffler, Residuensatz, Satz von Riemann-Roch.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 05.12. 2019