Isolierte Singularität

Isolierte Singularitäten werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie betrachtet. Isolierte Singularitäten sind besondere isolierte Punkte in der Quellmenge einer holomorphen Funktion. Man unterscheidet bei isolierten Singularitäten zwischen hebbaren Singularitäten, Polstellen und wesentlichen Singularitäten.

Definition

Es sei \Omega \subseteq {\mathbb  C} eine offene Teilmenge, z_{0}\in \Omega . Ferner sei f\colon \Omega \setminus \{z_{0}\}\to {\mathbb  C} eine holomorphe komplexwertige Funktion. Dann heißt z_{0} isolierte Singularität von f.

Klassifizierung

Jede isolierte Singularität gehört einer der folgenden drei Klassen an:

Hebbare Singularitäten und Polstellen werden auch unter dem Begriff außerwesentliche Singularität zusammengefasst.

Isolierte Singularitäten und die Laurentreihe

Der Typ der Singularität lässt sich auch an der Laurentreihe

\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

von f in z_{0} ablesen:

Aussagen über die Eigenschaften holomorpher Funktionen an wesentlichen Singularitäten machen der Große Satz von Picard und als einfacherer Spezialfall davon der Satz von Casorati-Weierstraß.

Beispiele

Plot der Funktion \exp(1/z). Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).

Es sei \Omega ={\mathbb  C} und z_{0}=0.

f(z)=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac  {1}{n!\,z^{n}}}.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 07.04. 2021