Satz von Picard

Die Sätze von Picard (nach Émile Picard) sind Sätze der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik.

Sie lauten wie folgt:

Bemerkungen

Beweis

Mit Hilfe der Theorie der j-Funktion kann ein kurzer Beweis des kleinen Satzes von Picard gegeben werden. Unter der Annahme, f sei ganz und lasse die Werte {\displaystyle a\not =b} aus, ist die Funktion

{\displaystyle g(z)={\frac {f(z)-a}{b-a}}}

ganz und lässt die Werte 0 und 1 aus. Die j-Funktion bildet nun die mit Spitzen vereinigte obere Halbebene {\displaystyle \mathbb {H} \cup \mathbb {Q} \cup \{\infty \}} auf eine Riemannsche Fläche mit unendlich vielen Blättern und Verzweigungspunkten an den Bildpunkten {\displaystyle 0,1} und  \infty ab. Es folgt, dass ihre Inverse {\displaystyle j^{-1}} diese Riemannsche Fläche (ohne Einschränkung) auf den Abschluss des Standardfundamentalbereichs {\displaystyle {\mathcal {F}}} abbildet. Da {\displaystyle j'(\tau )\not =0} für alle {\displaystyle \rho \not =\tau \not =i} und {\displaystyle j'(i)=j'(\rho )=0} und {\displaystyle j(i)=0}, {\displaystyle j(\rho )=1} bzw. {\displaystyle j(\infty )=\infty }, ist {\displaystyle j^{-1}} lokal analytisch für alle komplexen Werte außer 0 und 1. Daraus folgt, dass die Komposition

{\displaystyle h(z)=j^{-1}(g(z))}

in jeden Punkt lokal analytisch ist, da g gerade 0 und 1 auslässt. Damit lässt sich h zu einer ganzen Funktion ausdehnen, für welche allerdings {\displaystyle |e^{ih(z)}|<1} für alle  z \in \mathbb{C} gelten muss, da {\displaystyle \mathrm {Im} \,h(z)>0}. Daraus folgt mit dem Satz von Liouville, dass h und folglich auch f konstant ist.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.09. 2021