Rationaler Funktionenkörper

Ein Rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Definition

Der rationale Funktionenkörper K(X) ist der Quotientenkörper des Polynomrings K[X] über einem Körper . Die Konstruktion von K(X) ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente $r\in K(X)$ können also als $r = \tfrac{f}{g}$ mit Polynomen $f,g \in K[X]$ , wobei nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Anmerkungen und Eigenschaften

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten. Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion, aber die Zuordnung Polynom $\rightarrow$ Polynomfunktion ist nur dann injektiv, wenn der Körper unendlich ist. Beispiel: Ist $K={\mathbb {F}}_{2}$ der Körper mit 2 Elementen, so induzieren und $X^{2}$ die gleiche Funktion auf . Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkörpers nicht gleich.
Zweitens hat in der Regel der Nenner Nullstellen. Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz definiert, sondern nur auf einer Zariski-offenen Teilmenge.

Beispiel: Für $K=\mathbb{F}_3$ gilt zwar $\tfrac{1}{X^3-X}$ als rationale Funktion auf im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung K(X)/K ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine -Basis des -Vektorraums K(X) angeben.

In mehreren Variablen

Definition

Der rationale Funktionenkörper $\displaystyle K(X_1,\ldots,X_n)$ in den Variablen $\displaystyle X_1,\ldots,X_n$ ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings $\displaystyle K[X_1,\ldots,X_n]$ .

Konstruktion

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen $\displaystyle X_i$ und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

$\displaystyle K(X_1,\ldots,X_n)$ ist der Quotientenkörper des Polynomrings $\displaystyle K(X_1,\ldots,X_{n-1})[X_n]$ , also des Polynomrings über dem Körper $\displaystyle K(X_1,\ldots,X_{n-1})$ in der Variable $\displaystyle X_n$

Funktionenkörper in der algebraischen Geometrie

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper algebraisch abgeschlossen und eine affine Varietät im $K^{n}$ . Dann ist das Ideal I(V) ein Primideal im Polynomring $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ , weshalb der Koordinatenring K[V] , d. h. der Quotientenring $K[X_1,\ldots,X_n] / I(V)$ , ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper K(V) des Koordinatenrings K[V] heißt dann Funktionenkörper von . Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von betrachtet werden.

Literatur

Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, S. 63, doi:10.1007/978-3-642-39567-3 ( und $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ).
Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1964-2, S. 41, doi:10.1007/978-3-8348-2348-9 (Algebraische Geometrie).

Basierend auf einem Artikel in:

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