Lemniskatische Konstante

Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante>. Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals

\varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}} = 2,62205 75542 92119 81046 48395 89891 11941 36827 54951 43162 … (Folge A062539 in OEIS)

und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate auf. Derzeit (Stand: 17. März 2020) sind 600.000.000.000 Nachkommastellen der lemniskatischen Konstante bekannt. Sie wurden von Seungmin Kim und Ian Cutress berechnet.

Bezeichnung

Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel \varpi (gesprochen: Skript-Pi oder Varpi), eine alternative Schreibweise von \pi , um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang

\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}

zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen \Pi , und ab Juli 1798 verwendete er für diese Größe konsequent {\tfrac {\varpi }{2}}.

Im Englischen findet sich für die Minuskel \varpi auch die (irreführende) Bezeichnung pomega, ein Kofferwort aus den Buchstabennamen für π und ω.

Im englischen Sprachraum wird

G=\varpi /\pi = 0,83462 68416 74073 18628 14297 32799 04680 89939 93013 49034 … (Folge A014549 in OEIS)

als Gaußkonstante bezeichnet.

Eigenschaften

Mit der Betafunktion \mathrm {B} und der Gammafunktion \Gamma gilt

{\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/{\bigl (}2{\sqrt {2\pi }}{\bigr )}.}

Deswegen gilt auch das Folgende:

{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt[{4}]{\pi }}\cdot {\sqrt {\varpi }}}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}}

Gauß fand die Beziehung

\varpi =\pi /M(1,{\sqrt {2}})

mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel M und gab auch eine schnell konvergierende Reihe

\varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}^{\!2}{\frac {1}{2^{5k}}}

mit Summanden der Größenordnung {\frac {1}{k2^{k}}} an. Die Auswertung

\varpi =2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{(4k+1)2^{2k}}}

des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung {\frac {1}{k^{3/2}}} sind. Sehr schnell konvergiert die Reihe in

{\displaystyle \varpi =\pi {\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}{\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}}

mit Summanden der Größenordnung e^{-\pi k^{2}}.

Auch sehr schnell konvergiert folgende Reihe:

{\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (\pi k)}

Analog zum Wallisschen Produkt lassen sich für die lemniskatische Konstante folgende Produktreihen entwickeln:

{\displaystyle \varpi =2\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(4k+4)}{(4k+2)(4k+5)}}={\sqrt {2}}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)(4k+4)}{(4k+1)(4k+5)}}}

Folgende Produktreihen konvergieren sehr schnell:

{\displaystyle \varpi =\pi \prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k/2)^{2}={\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{2}}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k)^{2}}

Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante \gamma her:

\log \varpi ={\tfrac {1}{2}}\gamma -{\tfrac {1}{2}}\log 2+\log \pi +{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}\,.

Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von \varpi . Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass \Gamma (1/4) und somit auch \varpi algebraisch unabhängig von \pi ist.

Mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art lässt sich die lemniskatische Konstante auf verschiedene Weise darstellen:

{\displaystyle \varpi ={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=4({\sqrt {2}}-1)K[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)K\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]=}
{\displaystyle =8({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}K[({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}]=5{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)K\left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})\right]}

Die lemniskatische Konstante kann auch ausschließlich mit Ellipsenumfängen und somit mit elliptischen Integralen zweiter Art dargestellt werden:

{\displaystyle \varpi =(2+{\sqrt {2}})E[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=}
{\displaystyle ={\frac {3}{2}}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}})E\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]-{\frac {1}{2}}(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}-3{\sqrt {2}})E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}

Dabei ist E(k) das Verhältnis des Viertelumfangs zur längeren Halbachse bei derjenigen Ellipse, bei welcher die numerische Exzentrizität den Wert k annimmt.

Folgende weitere Integrale involvieren die lemniskatische Konstante:

{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}} {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{4})^{3/4}}}\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}} {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{3/4}}}\mathrm {d} x=\varpi }
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)}}\mathrm {d} x=\varpi } {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\operatorname {sec} (x)}}\mathrm {d} x=\varpi }

Das Produkt folgender zwei Integrale lässt sich mit der Produktregel und dem Satz von Fubini auf folgende Weise umformen:

{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=}
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x=}
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y+{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}
{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}}

Daraus folgt:

{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\varpi }}}

Aus diesem Integral lassen sich folgende Integrale herleiten:

{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{(x^{4}+1)^{3/2}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}\varpi }}} {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{1/4}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}}
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)^{3}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}}

Im Zusammenhang mit der Gammafunktion gilt außerdem folgendes Integral:

{\displaystyle {\frac {1}{4}}\Gamma ({\frac {3}{4}})=\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\mathrm {d} x={\frac {\sqrt[{4}]{\pi ^{3}}}{4{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\varpi }}}}}

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.06. 2021