Eulersche Betafunktion

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit \mathrm {B} bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene
\mathrm{B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{{x-1}}(1-t)^{{y-1}}\,{\mathrm  {d}}t,

wobei x und y einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines

Bei festem x (bzw. y) ist \mathrm {B} eine meromorphe Funktion von y (bzw. x), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

\mathrm{B} (x,y)=\mathrm{B} (y,x).

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit {\displaystyle \mathrm {Re} \,x>0} und {\displaystyle \mathrm {Re} \,y>0} (die erste Darstellung ergibt sich durch die Substitution {\displaystyle u={\tfrac {t}{1-t}}})

{\begin{aligned}\mathrm{B} (x,y)&{}=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac  {t^{{x-1}}}{{(1+t)}^{{x+y}}}}\,{\mathrm  {d}}t\\&{}=2\int \limits _{0}^{{{\frac  {\pi }{2}}}}\sin ^{{2y-1}}(t)\cos ^{{2x-1}}(t){\mathrm  {d}}t.\end{aligned}}

An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang x=k und y=k für ganze Zahlen k\leq 0 hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl \mathrm{B} (x,y) für alle rationalen, nicht ganzzahligen x,y transzendent ist.

Beziehung zur Gammafunktion

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

\mathrm{B} (x,y)={\frac  {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}

wobei \Gamma die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.

Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.\end{aligned}}}

nun kann man die Variablen {\displaystyle u=zt} und {\displaystyle v=z(1-t)} substituieren und erhält damit

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}

Teilt man nun beide Seiten durch {\displaystyle \Gamma (x+y)}, erhält man das Resultat.

Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:

\mathrm{B} (x,y)=2\int _{0}^{{\pi /2}}(\sin \theta )^{{2x-1}}(\cos \theta )^{{2y-1}}\,d\theta ,\qquad {\textrm  {Re}}(x)>0,\ {\textrm  {Re}}(y)>0
\mathrm{B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac  {t^{{x-1}}}{(1+t)^{{x+y}}}}\,dt,\qquad {\textrm  {Re}}(x)>0,\ {\textrm  {Re}}(y)>0
\mathrm{B} (x,y)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\dfrac  {{n-y \choose n}}{x+n}},
\mathrm{B} (x,y)={\frac  {x+y}{xy}}\prod _{{n=1}}^{\infty }\left(1+{\dfrac  {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{{-1}},
\mathrm{B} (x,y)\cdot \mathrm{B} (x+y,1-y)={\dfrac  {\pi }{x\sin(\pi y)}},
\mathrm{B} (x,y)={\dfrac  {1}{y}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac  {y^{{n+1}}}{n!(x+n)}}

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

{n \choose k}={\frac  1{(n+1)\mathrm{B} (n-k+1,k+1)}}.

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive x und y auf:

\mathrm{B} (x,y)={\dfrac  {(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}}.

Ableitung

Die Ableitung ist gegeben durch

{\partial  \over \partial x}\mathrm{B} (x,y)=\mathrm{B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm{B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))

wobei \psi (x) die Digamma-Funktion ist.

Werte

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:

{\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)=\pi \csc(\pi x)}

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.

{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]}
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)=2{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)}
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]}
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)}
{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]}
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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.02. 2022