Eulersche Betafunktion
Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:
wobei und einen positiven Realteil haben müssen.
Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf.
Allgemeines
Bei festem (bzw. ) ist eine meromorphe Funktion von (bzw. ), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation
- .
Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit und (die erste Darstellung ergibt sich durch die Substitution )
An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang und für ganze Zahlen hat.
Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl für alle rationalen, nicht ganzzahligen transzendent ist.
Beziehung zur Gammafunktion
Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität
wobei die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.
Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:
nun kann man die Variablen und substituieren und erhält damit
Teilt man nun beide Seiten durch , erhält man das Resultat.
Darstellungen
Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:
Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:
Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive und auf:
- .
Ableitung
Die Ableitung ist gegeben durch
wobei die Digamma-Funktion ist.
Werte
Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:
Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.02. 2022