Algebraische Unabhängigkeit

In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaft von Elementen einer transzendenten Körpererweiterung, welche besagt, dass diese Elemente keine nichttriviale Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkörper erfüllen.

Definition

Seien L/K eine Körpererweiterung und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ Elemente von . Gibt es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom in Variablen und Koeffizienten in , d.h. $f\in K \lbrack X_1, \ldots , X_n \rbrack \setminus \{0\}$ , so dass

$f(v_1, \ldots , v_n) = 0$ ,

dann heißen $v_{1},\ldots ,v_{n}$ algebraisch abhängig. Existiert kein solches Polynom, dann heißen die Elemente algebraisch unabhängig.

Dieser Begriff kann auf unendliche Teilmengen von erweitert werden, indem man eine Menge algebraisch abhängig nennt, wenn sie eine algebraisch abhängige endliche Teilmenge hat.

Ähnlich zum in Vektorräumen verwendeten Konzept der Linearkombination (lineares homogenes Polynom), welches den Begriff der linearen Unabhängigkeit liefert, betrachtet man manchmal bei Körpererweiterungen algebraische Kombinationen transzendenter Elemente, d.h. beliebige (gebrochenrationale) Polynome mit Koeffizienten im Grundkörper.

Ein maximales System algebraisch unabhängiger Elemente heißt Transzendenzbasis, ihre Mächtigkeit heißt Transzendenzgrad der Erweiterung.

Zusammenhang mit algebraischen Elementen

Ist L/K eine Körpererweiterung, so ist ein Element aus genau dann über dem Körper algebraisch abhängig, wenn es ein algebraisches Element über ist, denn nach Definition ist es genau dann Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus . Damit ist ein Element aus genau dann algebraisch unabhängig über , wenn es ein transzendentes Element über ist.

Beispiele

Zueinander bezüglich der Multiplikation inverse Elemente sind stets algebraisch abhängig, da sie Nullstellen des Polynoms sind.
Die reellen Zahlen $\pi+1$ und $\pi^2$ (mit der Kreiszahl pi) sind algebraisch abhängig über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ , denn sie erfüllen mit $X = \pi+1$ und $Y =\pi^2$ die Polynomgleichung .
Ebenso sind $\pi$ und die imaginäre Einheit algebraisch abhängig über $\mathbb {Q}$ , denn mit $X = \pi$ und gilt $0\cdot X + Y^2 + 1 =0$ . Das liegt natürlich daran, dass die Menge $\{i\}$ allein schon algebraisch abhängig ist. Obwohl $\pi$ und algebraisch abhängig sind, gehört weder $\pi$ zu $\Q(i)$ noch zu $\Q(\pi)$ .

Beispiele von komplexen Zahlen, die über $\mathbb {Q}$ algebraisch unabhängig sind, sind schwerer zu finden, obwohl es bewiesenermaßen unendlich viele (genauer: kontinuum-viele) über $\mathbb {Q}$ algebraisch unabhängige komplexe Zahlen gibt. Man vermutet aber, dass und $\pi$ es sind. Leicht ist es dagegen, Beispiele in anderen Körpern zu finden:

Im rationalen Funktionenkörper $\mathbb{Q}(X, Y)$ in zwei Unbestimmten und über den rationalen Zahlen sind die Elemente und algebraisch unabhängig, denn nach Definition dieses Körpers ist das einzige Polynom in zwei Variablen, das an der Stelle gleich 0 ist, das Nullpolynom.

Ein größeres Beispiel findet man im Funktionenkörper $K(X_1,\ldots,X_n)$ . Hier sind alle elementarsymmetrischen Polynome $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ algebraisch unabhängig.

Literatur

Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen-Ringe-Körper. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-8274-3011-3.

Basierend auf einem Artikel in:

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