Algebraisches Element

Die Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten Zahlen.

Definition

Sei L/K eine Körpererweiterung, a\in L ein Element. Dann heißt a algebraisch über K, wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in K gibt, das a als Nullstelle hat.

Ein Element aus L, das nicht algebraisch über K ist, heißt transzendent über K.

Beispiele

Eigenschaften

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element a aus L (einem Oberkörper von K):

Dabei ist K\left[a\right] die Ringadjunktion von a an K, die aus allen Elementen von L besteht, die sich als g\left(a\right) mit einem Polynom g über K schreiben lassen. K\left(a\right) ist dessen Quotientenkörper in L und besteht aus allen Elementen von L, die sich als g\left(a\right)/h\left(a\right) mit Polynomen g und h über K (h\left(a\right) ungleich dem Nullpolynom) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über K algebraischen Elementen wieder algebraisch über K sind. Die Menge aller über K algebraischen Elemente von L bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung L/K, den sogenannten algebraischen Abschluss in L. Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem algebraischen Abschluss von K.

Minimalpolynom

Hauptartikel: Minimalpolynom

Ist a algebraisch über K, dann gibt es viele Polynome g\in K[X] mit g\left(a\right)=0. Es gibt aber genau ein normiertes Polynom von kleinstem Grad mit Nullstelle a, dieses heißt „das Minimalpolynom von a über K“. Aus ihm kann man viele Eigenschaften von a ablesen. Zum Beispiel ist der Grad dieses Polynoms gleich dem Erweiterungsgrad von K\left(a\right)/K

Verallgemeinerung

In Ringerweiterungen kann der Begriff des ganzen Elementes definiert werden. Fasst man eine Körpererweiterung als Ringerweiterung auf, so ist ein Element dort genau dann ganz, wenn es ein algebraisches Element der Körpererweiterung ist.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 01.09. 2019