Ganzes Element

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

Definition

Es sei ein Ring und eine -Algebra. Dann heißt ein Element $b\in B$ ganz über , wenn es ein Polynom $p\in A[X]\setminus \{0\}$ mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass p(b)=0 gilt, also wenn es ein $n\in \mathbb {N}$ und Koeffizienten $a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n-1}\in A$ gibt mit

$b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dots +a_{1}b+a_{0}=0$ .

Die Menge der über ganzen Elemente von heißt der ganze Abschluss von in .

Falls der ganze Abschluss von in mit übereinstimmt, heißt ganz abgeschlossen in . Stimmt der ganze Abschluss von in jedoch mit überein, ist also jedes Element von ganz über , so heißt ganz über .

Beispiele

Ist $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, dann ist insbesondere eine -Algebra. Ist ganz über , so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper wird als der Ganzheitsring ${\mathcal {O}}_{K}$ von bezeichnet.
Ist $A={\mathbb Z}$ und $K=\mathbb Q\big(\sqrt5\big)$ , so ist der ganze Abschluss von in gegeben als

$\mathcal O_K=\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].$

Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen

Sei $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, $x\in B$ . Dann sind äquivalent:

ist ganz über ,
ist als -Modul endlich erzeugt,
es gibt einen Teilring $C\subseteq B$ , sodass $A[x]\subseteq C$ und als -Modul endlich erzeugt ist.

Eigenschaften

Der ganze Abschluss von in ist eine -Unteralgebra von .

Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung $A\subseteq B\subseteq C$ , dass genau dann ganz über ist, wenn ganz über und ganz über ist.

Eine -Algebra ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.

Sei $A\subseteq B$ eine Ringerweiterung, der ganze Abschluss von in und $S\subseteq A$ eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch $S^{-1}C$ der ganze Abschluss von $S^{{-1}}A$ in $S^{-1}B$ , wobei mit $S^{{-1}}$ die Lokalisierung nach der Menge bezeichnet.

Ganzabgeschlossenheit ist eine lokale Eigenschaft.

Sei $A\subseteq B$ eine ganze Ringerweiterung und nullteilerfrei. Dann ist genau dann ein Körper, wenn ein Körper ist.

Ist $A\subseteq B$ eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in und darunterliegenden Primidealketten in . Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.

Falls ein Unterring des Körpers ist, dann ist der ganze Abschluss von in der Durchschnitt aller Bewertungsringe von die enthalten.

Basierend auf einem Artikel in:

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