Pierre de Fermat

französischer Mathematiker und Jurist

geboren: 1607 in Beaumont-de-Lomagne
gestorben: 12. Januar 1665 in Castres

Als Geburtsdatum galt lange Zeit der 20. August 1601.^[1] Neuere Recherchen ergaben jedoch, dass Fermat Ende 1607 oder Anfang 1608 in Beaumont-de-Lomagne, einer 55 km nordwestlich von Toulouse gelegenen Bastide, geboren wurde.
Fermats Vater Dominique Fermat war ein erfolgreicher Großhändler mit ländlichen Produkten, der es durch großes Geschick zu erheblichem Wohlstand und hohem Ansehen gebracht hatte.
Über Fermats Schulbildung gibt es keine gesicherten Erkenntnisse, aber plausible Annahmen. Seine ersten Grundschuljahre dürfte er in einer der drei Elementarschulen für Knaben von Beaumont verbracht haben.
Seine vielgerühmte klassische Bildung dürfte Fermat von 1617 bis 1623 in dem reformierten collège de Navarre im nahegelegenen Montauban erhalten haben.

Fermat studierte von 1623 bis 1626 Zivilrecht an der Universität Orléans und schloss dieses Studium im Juli 1626 mit dem baccalaureus iuris civilis ab.
Die Universität Orléans war eine alte und in ganz Europa berühmte Rechtsschule mit Universitätsrang, in der, als letzter, in den ersten drei Jahrzehnten des 17. Jahrhunderts noch der mos gallicus (der humanisme juridique) gelehrt wurde.

Im September 1626 bestimmte Dominique Fermat in seinem Testament seinen älteren Sohn Pierre zum Universalerben.
Im Herbst desselben Jahres ließ sich Pierre Fermat, vermutlich auf Anraten des Mathematikers Jean Beaugrand (1584–1640), als Anwalt (avocat) am parlement de Bordeaux nieder, wo er bis Ende 1630 blieb.
Fermats Vater starb am 20. Juni 1628. Von diesem Augenblick an war Fermat ein reicher Mann.

Am 29. Dezember 1630 kaufte er für die enorme Summe von 43.500 Livres das Amt eines conseiller au parlement de Toulouse et commissaire aux requêtes von der Witwe des an der Pest gestorbenen Amtsvorgängers Pierre de Carriere und wurde am 14. Mai 1631 hierin vereidigt. Damit wurde Fermat zugleich in den Amtsadel (noblesse de robe) erhoben, erhielt den Titel eines écuyer (Schildknappe, Junker) sowie das Recht, das de vor seinem Namen zu führen, wovon er selbst aber nie Gebrauch machte.

Das Brechungsgesetz und das Prinzip des kürzesten Weges

Nach dem rätselhaften Tod Descartes’ am 11. Februar 1650 hatte Claude Clerselier (1614–1684), der Herausgeber und Übersetzer von Descartes’ Schriften und sein glühender Verehrer, damit begonnen, auch Descartes’ Briefe für die Publikation vorzubereiten. Anfang des Jahres 1657 wandte sich Clerselier an Fermat, um dessen Diskussion mit Descartes von 1637 über das Snelliussche Brechungsgesetz wieder aufzunehmen, wohl in der Hoffnung, Fermat dazu zu bewegen, die Überlegenheit der Position Descartes’ einzuräumen. Stattdessen jedoch wurde daraus ein bis zum 21. Mai 1660 dauernder Briefwechsel, in dem Clerselier Fermat durch ständige Einwände dazu zwang, seine Argumentation immer wieder zu verbessern, bis es Fermat am Ende gelang, einen mathematisch stichhaltigen Beweis zu erbringen, dass man das Snelliussche Brechungsgesetz aus dem Fermatschen Prinzip des zeitlich kürzesten Weges herleiten kann. Fermat war nicht der Entdecker des Brechungsgesetzes. Die Bedeutung seiner letzten großen mathematischen Leistung liegt in seiner Anwendung der (noch integralfreien) Variationsrechnung, in deren Geschichte sie einen wichtigen Platz einnimmt. Danach erlaubte er seiner geliebten „Geometrie“, „in einen tiefen Schlaf zu fallen“.

Beiträge zur Mathematik

Fermat beschäftigte sich, wie die meisten Wissenschaftler seiner Zeit, nicht hauptberuflich mit der Mathematik. Vielmehr war er ein vielbeschäftigter und engagierter Richter am parlement de Toulouse. So beschränkte sich sein Einfluss auf die Korrespondenz mit vielen bedeutenden Gelehrten seiner Zeit.

Eine wichtige Quelle ist die von seinem Sohn vorgenommene Ausgabe seines Nachlasses, einschließlich der von ihm kommentierten Arithmetik des Diophantos von Alexandria. Er leistete bahnbrechende Beiträge zur Differentialrechnung, analytischen Geometrie, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Variationsrechnung. Dabei teilte er seine Erkenntnisse oft nur in Form von „Herausforderungen“ (défis) mit, das heißt, er gab nur das Resultat an, nicht hingegen den Lösungsweg.

Nach Fermat sind unter anderem benannt:

Das Fermatsche Prinzip ist ein Variationsprinzip der Optik: „Licht nimmt seinen Weg immer so, dass es ihn in der kürzesten Zeit zurücklegt.“ Hieraus leiten sich das Reflexionsgesetz und das Snelliussche Brechungsgesetz ab.
Als Fermatsche Zahlen werden Zahlen der Form F_n = 2^2ⁿ + 1 mit n ∈ ℕ bezeichnet. Fermat vermutete 1637, dass alle Fermat-Zahlen Primzahlen sind. Dies wurde jedoch 1732 von Euler widerlegt, der zeigte, dass die sechste Fermatzahl F₅ durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) keine weitere Fermatsche Primzahl und vermutet, dass es auch keine weitere gibt.
Der Fermatsche Zwei-Quadrate-Satz lautet: Eine ungerade Primzahl ist genau dann die Summe zweier Quadrate, wenn sie von der Form ist:

$\left(\exists (x,y)\in \mathbb {N} ^{2}\quad p=x^{2}+y^{2}\right)\;\;\Leftrightarrow \;\;p\equiv 1{\pmod {4}},$

und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Summanden eindeutig.

Der erste Beweis dieses Satzes geht auf Euler zurück. Die beiden kleinsten Primzahlen mit dieser Eigenschaft sind 5 = 1² + 2² und 13 = 2² + 3².

Kleiner Fermatscher Satz: Für jede Primzahl gilt:

$a^{p}\equiv a\ (\mathrm {mod} \ p)$ für alle $a\in \mathbb {N}$ .

Auf diesem Satz beruht der Fermatsche Primzahltest. Auch in diesem Fall findet sich der erste erhaltene Beweis bei Euler.

Fermat bewies mehr als das, was meist, und auch hier, als Kleiner Fermatscher Satz zitiert wird, nämlich:

Fermats Satz: Es sei eine positive ganze Zahl und eine Primzahl, die nicht teilt. Dann gibt es positive ganze Zahlen , für die

$a^{n}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)$

gilt, und es sei die kleinste solche Zahl. Dann gilt $d\mid p-1$ und

$a^{n}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)\iff d\mid n$ .

Insbesondere gilt

$a^{p-1}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p).$

Diese Variante seines Satzes ermöglichte ihm, den Primteiler $223$ der Mersenne-Zahl $2^{37}-1=137438953471$ zu finden und somit zu beweisen, dass $2^{36}(2^{37}-1)$ keine vollkommene Zahl ist.

Großer Fermatscher Satz, bis 1994 Fermatsche Vermutung (oder auch Fermats Letzter Satz): Diese berühmteste aller auf Fermat zurückgehenden Behauptungen besagt, dass die diophantische Gleichung

aⁿ + bⁿ = cⁿ

mit a, b, c ∈ ℕ für keine natürliche Zahl n > 2 erfüllt ist. Es gibt also keine Analoga zu den pythagoreischen Tripeln für die dritte oder höhere Potenzen. Berühmt wurde dieser Satz, weil Fermat in einer Randnotiz seines Exemplars der Arithmetika des Diophant behauptete, dafür einen „wahrhaft wunderbaren“ Beweis gefunden zu haben, für den aber „auf dem Rand nicht genug Platz“ sei:

“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.”

„Es ist jedoch nicht möglich, einen Kubus in 2 Kuben, oder ein Biquadrat in 2 Biquadrate und allgemein eine Potenz, höher als die zweite, in 2 Potenzen mit ebendemselben Exponenten zu zerlegen: Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“

– Pierre de Fermat

Der Fall n = 4 wurde von Fermat an anderer Stelle bewiesen (mit seiner Methode des unendlichen Abstiegs), weitere Fälle später von anderen Mathematikern. In ihrer Allgemeinheit blieb die Aussage bis Mitte der 1990er Jahre eines der berühmtesten ungelösten Probleme der Mathematik. Erst im September 1994 (publiziert im Mai 1995 mit einem Beitrag von Richard Taylor) gelang es dem britischen Mathematiker Andrew Wiles, die Fermatsche Vermutung zu beweisen. Daher wird diese auch als Satz von Fermat/Wiles oder Satz von Wiles und Taylor bezeichnet. Wiles wurde 2016 der Abelpreis für den Beweis verliehen.

Faktorisierungsmethode von Fermat: ein Verfahren, eine ungerade zusammengesetzte Zahl in das Produkt zweier Faktoren zu zerlegen.
Fermatscher Polygonalzahlensatz
die beiden Fermat-Punkte eines Dreiecks

Anmerkungen

↑ Es gibt widersprüchliche Belege. Ein Taufschein von 1601 wurde oft als Beweis genommen, zum Beispiel von Fermats Herausgeber Paul Tannery. Ein im 19. von Charles Henry entdecktes Grabdenkmal deutet auf ein anderes Datum zwischen 1607 und 1609 hin, das der Mathematiker Klaus Barner kürzlich wieder auf die Tagesordnung gesetzt hat. Klaus Barner , „Wie alt wurde Fermat?“ , NTM – Internationale Zeitschrift für Geschichte und Ethik der Naturwissenschaften, Technik und Medizin , vol. 9.‎2001, p. 209-228. Pierre Gairin, Lokalhistoriker von Beaumont-de-Lomagne, hat kürzlich mehrere relevante Akten gefunden, die jedoch keine Schlussfolgerung zulassen.