Zusammengesetzte Zahl

Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, deren Primfaktorzerlegung aus mindestens zwei Faktoren besteht. Sie sind damit das Gegenstück zu den Primzahlen. Ebenso wie allgemeiner Primelemente in Ringen, wie z.B. den ganzen oder den gaußschen Zahlen untersucht werden, können auch dort zusammengesetzte Zahlen betrachtet werden.

Definition

Sei $n\in \mathbb {N}$ und $n\geq 2$ . Dann existiert ein (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutiges Produkt aus Primzahlen, so dass $n=\prod _{i=1}^{k}{p_{i}}$ mit Primzahlen ${p_{1}},\ldots ,{p_{k}}$ , wobei einzelne Primzahlen auch mehrmals auftauchen können ( $p_{i}=p_{j}$ mit $i\neq j$ ). ist genau dann zusammengesetzt, wenn $k>1$ .

Eigenschaften

Mit Ausnahme der Zahlen null und eins ist jede natürliche Zahl entweder eine Primzahl oder zusammengesetzt.
Jede positive gerade Zahl außer der zwei ist zusammengesetzt.
Zusammengesetzte Zahlen können auch als Fastprimzahlen mindestens zweiter Ordnung bezeichnet werden.
Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. Während man die 0 aus diesen Betrachtungen völlig ausklammert, ordnet man der 1 das leere Produkt zu.
Die Folge der zusammengesetzten Zahlen beginnt mit: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25... (Folge A002808 in OEIS)

Sätze

Fundamentalsatz der Arithmetik
Für jede zusammengesetzte Zahl $n>5$ gilt: $(n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}$

Siehe auch

hochzusammengesetzte Zahl

Basierend auf einem Artikel in:

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