Primelement

Der Begriff Primelement ist in der kommutativen Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.

Definition

Ein Element c eines kommutativen unitären Ringes (R,+,\cdot ,0,1) heißt Primelement, falls c weder 0 noch eine Einheit ist und für alle a,b\in R gilt: Teilt c das Produkt a\cdot b, dann teilt c auch a oder b.

In Symbolnotation: {\displaystyle c{\mbox{ ist prim }}\Leftrightarrow \ c\neq 0\ \land \ c\nmid 1\ \land \ \forall a,b\in R:\ c\mid (a\cdot b)\Rightarrow (c\mid a)\lor (c\mid b).}

Primelemente sind also diejenigen Elemente abgesehen von 0 und Einheiten, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.

Irreduzible Elemente

Eine andere Verallgemeinerung des Primzahlbegriffs sind irreduzible Elemente, die dadurch definiert sind, dass sie keine Einheiten sind und nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können. Im Allgemeinen ist weder jedes Primelement irreduzibel noch jedes irreduzible Element prim (siehe Beispiele). Aber in einem Integritätsring ist jedes Primelement irreduzibel, und in einem faktoriellen Ring ist auch umgekehrt jedes irreduzible Element prim.

Sätze über Primelemente

Beispiele

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 01.09. 2019