Hauptideal

Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.

Definition

Ein Hauptideal eines Ringes R ist ein von einem einzigen Element a\in R erzeugtes Ideal

(a):=\left(\left\{a\right\}\right).

Eigenschaften

Mit den Komplexprodukten

Ra:=\{ra\mid r\in R\},
aR:=\{ar\mid r\in R\}

und

RaR:=\{ras\mid r,s\in R\}

gilt jeweils für das von a\in R erzeugte

Falls der Ring R ein Einselement 1 besitzt, folgt für das

Bemerkungen

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring K[X,Y] aller Polynome in zwei Unbestimmten über einem Körper K. Das von den beiden Polynomen X und Y erzeugte Ideal (X,Y) besteht aus allen Polynomen aus K[X,Y], deren Absolutglied gleich {\displaystyle 0} ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom P ein Erzeuger von (X,Y), dann müsste P ein Teiler sowohl von X als auch von Y sein, was nur auf die konstanten Polynome ungleich {\displaystyle 0} zutrifft. Diese sind aber in (X,Y) nicht enthalten.

Verwandter Begriff

Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 12.10. 2018