Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.
Ein Hauptideal eines Ringes ist ein von einem einzigen Element erzeugtes Ideal
Mit den Komplexprodukten
und
gilt jeweils für das von erzeugte
Falls der Ring ein Einselement 1 besitzt, folgt für das
Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring aller Polynome in zwei Unbestimmten über einem Körper . Das von den beiden Polynomen und erzeugte Ideal besteht aus allen Polynomen aus , deren Absolutglied gleich ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom ein Erzeuger von , dann müsste ein Teiler sowohl von als auch von sein, was nur auf die konstanten Polynome ungleich zutrifft. Diese sind aber in nicht enthalten.
Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück