Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist $(G,\cdot)$ eine Gruppe und sind und Teilmengen von , dann ist das Komplexprodukt von mit definiert als

$M\cdot N := \{m\cdot n\mid m\in M, n\in N\}$ .

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

$\begin{align} MN & := M\cdot N\\ gN & := \{g\}\cdot N\\ Mg & := M\cdot \{g\}\end{align}$

üblich, wobei ein Element der Gruppe ist.

Da die obige Definition nur das Vorhandensein einer zweistelligen Verknüpfung voraussetzt, kann das Komplexprodukt auch in allgemeineren Strukturen betrachtet werden, zum Beispiel in Halbgruppen.

Eigenschaften

Das Komplexprodukt zweier Untergruppen und ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von :

$UV = \bigcup_{u \in U} uV = \bigcup_{v \in V} Uv$

Sind und endliche Untergruppen, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung

$|UV| = \frac{|U|\cdot|V|}{|U \cap V|}$

Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen und , dass genau dann eine Untergruppe ist, wenn gilt. Ist oder ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
Das Komplexprodukt von Nebenklassen und eines Normalteilers ist $gN \cdot hN = (gh)N$ . Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von nach .
Ist Normalteiler und Untergruppe von , die die Eigenschaften $N\cap U=\{e\}$ und $N\cdot U = G$ haben, dann ist das innere semidirekte Produkt von mit . Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den Satz von Schur-Zassenhaus verwiesen.
Die Potenzmenge einer Gruppe ist zusammen mit dem Komplexprodukt keine Gruppe, aber immerhin noch ein Monoid, insbesondere ist das Komplexprodukt assoziativ, also .

Basierend auf einem Artikel in:

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