Feuerbachkreis

Feuerbachkreis (M=Mittelpunkt)

Der Feuerbachkreis oder Neun-Punkte-Kreis ist ein besonderer Kreis im Dreieck, der nach Karl Wilhelm Feuerbach benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte:

Sonderfälle

Eigenschaften

Feuerbachkreis, Inkreis und Ankreise

Koordinaten

Mittelpunkt des Feuerbachkreises (X_{5})
Trilineare Koordinaten \cos(\beta -\gamma )\,:\,\cos(\gamma -\alpha )\,:\,\cos(\alpha -\beta )
Baryzentrische Koordinaten a\cos(\beta -\gamma )\,:\,b\cos(\gamma -\alpha )\,:\,c\cos(\alpha -\beta )

 
Feuerbachpunkt ({X_{1}}_{1})
Trilineare Koordinaten 1-\cos(\beta -\gamma )\,:\,1-\cos(\gamma -\alpha )\,:\,1-\cos(\alpha -\beta )

Geschichte

In Deutschland hat sich statt des Namens Neunpunktekreis der Name Feuerbachkreis eingebürgert. Grund dafür ist der von Feuerbach stammende, relativ schwierige Beweis, dass dieser Kreis den Inkreis und die Ankreise berührt. In der übrigen Welt sagt man meistens Neunpunktekreis. Es ist auch die historisch gesehen gerechtere Bezeichnung Eulerkreis verbreitet.

Dass die sechs Punkte D bis I auf einem Kreis liegen, zeigte schon Leonhard Euler 1765, das heißt, er zeigte, dass der durch die Fußpunkte der Höhen G, H, I definierte Kreis auch durch die Mittelpunkte der Seiten E, F, D (s. Bild 1–3) geht (deshalb auch manchmal Eulerkreis benannt). 1821 bewiesen Charles Julien Brianchon und Jean Victor Poncelet, dass diese sechs Punkte und noch drei weitere Punkte auf dem Kreis liegen, die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte J, K, L. Feuerbach bewies 1822, dass der ursprünglich durch die Fußpunkte G, H, I gehende Kreis die In- und Ankreise berührte und außerdem durch die Seitenmitten E, F, D geht. Die übrigen drei Punkte J, K, L des Feuerbachkreises erwähnt er nicht. Wegen der sechs Punkte D bis I heißt er manchmal auch Sechspunktekreis. Der Feuerbachkreis wird auch manchmal nach Olry Terquem benannt, der selbst dafür 1842 den Begriff Neunpunktekreis prägte und einen analytischen Beweis des Satzes von Feuerbach über die In- und Ankreise gab (und die zusätzlichen drei Punkte wieder entdeckte). Eine weitere Wiederentdeckung des Neunpunktekreises geschah durch Jakob Steiner 1828 und T. S. Davies 1827. J. S. MacKay fand 1892 in seinem Aufsatz zur Geschichte des Neunpunktekreises auch einige englische Autoren, die vor 1821 zur Geschichte des Feuerbachkreises beitrugen.

Siehe auch

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 26.01. 2022