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Formelsammlung Trigonometrie

Dreieckberechnung

Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck ABC habe die Seiten a=BC, b=CA und c=AB, die Winkel \alpha , \beta und \gamma bei den Ecken A, B und C. Ferner seien r der Umkreisradius, \rho der Inkreisradius und \rho _{a}, \rho _{b} und \rho _{c} die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken A, B bzw. C gegenüberliegen) des Dreiecks ABC. Die Variable s steht für den halben Umfang des Dreiecks ABC:

s={\frac {a+b+c}{2}}.

Schließlich wird die Fläche des Dreiecks ABC mit F bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

Es ist zu beachten, dass hier die Bezeichnungen für den Umkreisradius r, den Inkreisradius \rho und die drei Ankreisradien \rho _{a}, \rho _{b}, \rho _{c} benutzt werden. Oft werden davon abweichend für dieselben Größen auch die Bezeichnungen R, r, r_a, r_{b}, r_{c} verwendet.

Winkelsumme

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

Sinussatz

Formel 1:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}

Formel 2:

wenn \alpha =90^{\circ }

\sin \beta ={\frac {b}{a}}
\sin \gamma =\frac{c}{a}

wenn \beta =90^{\circ }

\sin \alpha =\frac{a}{b}
\sin \gamma =\frac{c}{b}

wenn \gamma =90^{\circ }

\sin \alpha =\frac{a}{c}
\sin \beta =\frac{b}{c}

Kosinussatz

Formel 1:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha
b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\ \cos \beta
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma

Formel 2:

wenn \alpha =90^{\circ }

{\displaystyle \cos \beta ={\frac {c}{a}}}
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {b}{a}}}

wenn \beta =90^{\circ }

{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {c}{b}}}
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a}{b}}}

wenn \gamma =90^{\circ }

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} (Satz des Pythagoras)
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {a}{c}}}

Projektionssatz

a = b\,\cos\gamma + c\,\cos\beta
b = c\,\cos\alpha + a\,\cos\gamma
c = a\,\cos\beta + b\,\cos\alpha

Die Mollweideschen Formeln

{\displaystyle {\frac {b+c}{a}}={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad {\frac {c+a}{b}}={\frac {\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\sin {\frac {\beta }{2}}}},\quad {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}}
{\displaystyle {\frac {b-c}{a}}={\frac {\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}},\quad {\frac {c-a}{b}}={\frac {\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\beta }{2}}}},\quad {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}}

Tangenssatz

Formel 1:

\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\beta +\gamma }{2}}{\tan \frac{\beta
  -\gamma }{2}}=\frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta -\gamma }{2}}

Analoge Formeln gelten für {\frac {a+b}{a-b}} und {\displaystyle {\frac {c+a}{c-a}}}:

{\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}
{\displaystyle {\frac {c+a}{c-a}}={\frac {\tan {\frac {\gamma +\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}}

Wegen {\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)} bleibt eine dieser Formel gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also etwa:

{\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}

Formel 2:

wenn \alpha =90^{\circ }

\tan \beta =\frac{b}{c}
\tan \gamma =\frac{c}{b}

wenn \beta =90^{\circ }

\tan \alpha =\frac{a}{c}
\tan \gamma =\frac{c}{a}

wenn \gamma =90^{\circ }

\tan \alpha =\frac{a}{b}
\tan \beta =\frac{b}{a}

Formeln mit dem halben Umfang

Im Folgenden bedeutet s immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks ABC, also s={\frac {a+b+c}{2}}.

 s-a = \frac{b+c-a}{2}
 s-b = \frac{c+a-b}{2}
 s-c = \frac{a+b-c}{2}
 \left( s-b\right) +\left( s-c\right) =a
 \left( s-c\right) +\left( s-a\right) =b
 \left( s-a\right) +\left( s-b\right) =c
 \left( s-a\right) +\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =s
\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{bc}}
{\displaystyle \sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{ca}}}}
\sin \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{ab}}
\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-a\right) }{bc}}
\cos \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) }{ca}}
\cos \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-c\right) }{ab}}
\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s\left( s-a\right) }}
{\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{s\left(s-b\right)}}}}
\tan \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{s\left( s-c\right) }}
s=4r\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
s-a=4r\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}

Flächeninhalt und Umkreisradius

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird hier mit F bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit A, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke A auszuschließen):

Heronsche Formel:

F=\sqrt{s\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }=\frac{1}{4}\sqrt{\left( a+b+c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }
F=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right) -\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right) }

Weitere Flächenformeln:

F=\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}ca\sin \beta =\frac{1}{2}ab\sin\gamma
F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}, wobei h_{a}, h_{b} und h_{c} die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC sind.
F= 2 r^{2} \sin\,\alpha\,\sin\,\beta\,\sin\,\gamma
F=\frac{abc}{4r}
F=\rho s = \rho_{a}\left( s-a\right) =\rho _{b}\left( s-b\right) =\rho_{c}\left( s-c\right)
F=\sqrt{\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}
F=4\rho r \cos\,\frac{\alpha}{2}\,\cos\,\frac{\beta}{2}\,\cos\,\frac{\gamma}{2}
F=s^{2} \tan\,\frac{\alpha}{2}\,\tan\,\frac{\beta}{2}\,\tan\,\frac{\gamma}{2}
{\displaystyle F=\rho ^{2}{\sqrt {\dfrac {h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{(h_{a}-2\rho )(h_{b}-2\rho )(h_{c}-2\rho )}}}}, mit {\displaystyle {\dfrac {1}{\rho }}={\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}
{\displaystyle F={\sqrt {\dfrac {r\,h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{2}}}}
{\displaystyle F={\dfrac {\,h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{2\rho \,{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )}}}}

Erweiterter Sinussatz:

\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r=\frac{a b c}{2 F}

a = 2 r\,\sin \alpha
b = 2 r\,\sin \beta
c = 2 r\,\sin \gamma
r =\frac{abc}{4F}

In- und Ankreisradien

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius \rho und die Ankreisradien \rho _{a}, \rho _{b} und \rho _{c} des Dreiecks ABC vorkommen.

\rho =\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan \frac{\beta }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\gamma }{2}
\rho =4r\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}=s\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}
\rho =r\left( \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)
\rho =\frac{F}{s}=\frac{abc}{4rs}
\rho =\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }{a+b+c}}
\rho =\frac{a}{\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}=\frac{b}{\cot
  \frac{\gamma }{2}+\cot \frac{\alpha }{2}}=\frac{c}{\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}}
a\cdot b + b\cdot c + c\cdot a = s^2 + \rho^2 + 4\cdot\rho\cdot r

Wichtige Ungleichung: 2\rho \leq r; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck ABC gleichseitig ist.

\rho _{a}=s\tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \cot \frac{\gamma }{2}=\left( s-c\right) \cot \frac{\beta }{2}
\rho _{a}=4r\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}=\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}
\rho _{a}=r\left( -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)
\rho _{a}=\frac{F}{s-a}=\frac{abc}{4r\left( s-a\right) }
\rho _{a}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s-a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( a+b+c\right) \left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }{b+c-a}}

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für \rho _{a} gilt in analoger Form für \rho _{b} und \rho _{c}.

\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}

Höhen

Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC werden mit h_{a}, h_{b} und h_{c} bezeichnet.

h_{{a}}=b\sin \gamma =c\sin \beta ={\frac  {2F}{a}}=2r\sin \beta \sin \gamma =2r\left(\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma \right)
h_{{b}}=c\sin \alpha =a\sin \gamma ={\frac  {2F}{b}}=2r\sin \gamma \sin \alpha =2r\left(\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma \right)
h_{{c}}=a\sin \beta =b\sin \alpha ={\frac  {2F}{c}}=2r\sin \alpha \sin \beta =2r\left(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \right)
h_{a}=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma };\;\;\;\;\;h_{b}=\frac{b}{\cot\gamma +\cot \alpha };\;\;\;\;\;h_{c}=\frac{c}{\cot \alpha +\cot \beta }
F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}
\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}

Hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei C (ist also \gamma =90^{\circ }), dann gilt

h_{c} = \frac{a b}{c}
{\displaystyle h_{a}=b}
{\displaystyle h_{b}=a}

Seitenhalbierende

Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC werden s_{a}, s_{b} und s_{c} genannt.

s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+bc\cos \alpha }
s_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}+ca\cos \beta }
s_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+ab\cos \gamma }
s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)

Winkelhalbierende

Wir bezeichnen mit w_\alpha, w_{\beta } und w_{\gamma } die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck ABC.

{\displaystyle w_{\alpha }={\frac {2bc\cos {\frac {\alpha }{2}}}{b+c}}={\frac {2F}{a\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\sqrt {bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}}}
{\displaystyle w_{\beta }={\frac {2ca\cos {\frac {\beta }{2}}}{c+a}}={\frac {2F}{b\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}={\frac {\sqrt {ca(c+a-b)(a+b+c)}}{c+a}}}
{\displaystyle w_{\gamma }={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {2F}{c\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\sqrt {ab(a+b-c)(a+b+c)}}{a+b}}}

Allgemeine Trigonometrie in der Ebene

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis:
{\overline {CP}}=\sin b {\overline {SP}}=\cos b
{\overline {DT}}=\tan b {\overline {EK}}=\cot b
{\overline {OT}}=\operatorname {sec} \,b {\overline {OK}}=\operatorname {csc} \,b

Periodizität

{\displaystyle \sin x\quad =\quad \sin(x+2n\pi );\quad n\in \mathbb {Z} }
{\displaystyle \cos x\quad =\quad \cos(x+2n\pi );\quad n\in \mathbb {Z} }
{\displaystyle \tan x\quad =\quad \tan(x+n\pi );\quad n\in \mathbb {Z} }
{\displaystyle \cot x\quad =\quad \cot(x+n\pi );\quad n\in \mathbb {Z} }

Gegenseitige Darstellung

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

\tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x }
\sin ^{2}x + \cos ^{2}x = 1       („Trigonometrischer Pythagoras“)
1+\tan ^{2}x=\frac{1}{\cos ^{2}x}=\sec ^{2}x
1+\cot ^{2}x=\frac{1}{\sin ^{2}x}=\csc ^{2}x

(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen.)

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

{\displaystyle \sin x\;=\;{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} für {\displaystyle x\in \left[0,\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },180^{\circ }[}
{\displaystyle \sin x\;=\;-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}} für {\displaystyle x\in \left[\pi ,2\pi \right[\quad =\quad [180^{\circ },360^{\circ }[}
{\displaystyle \sin x\;=\;{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}} für {\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[}
{\displaystyle \sin x\;=\;-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}} für {\displaystyle x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[}
{\displaystyle \cos x\;=\;{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} für {\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;[270^{\circ },360^{\circ }[}
{\displaystyle \cos x\;=\;-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}} für {\displaystyle x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad [90^{\circ },270^{\circ }[}
 \cos x = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \tan^2 x } } für {\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[}
 \cos x = - \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } für {\displaystyle x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[}
 \tan x = \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x } für {\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {\pi }{2}},\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]90^{\circ },180^{\circ }[}
 \tan x = - \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x } für {\displaystyle x\in \left[\pi ,{\frac {3\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [180^{\circ },270^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[}
 \tan x = \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } für {\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[}
 \tan x = - \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } für {\displaystyle x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[}

Vorzeichen der Winkelfunktionen

\sin x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{{\circ }},180^{\circ }\right[
\sin x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]180^{{\circ }},360^{\circ }\right[
\cos x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right]
\cos x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{{\circ }},270^{\circ }\right[
\tan x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{{\circ }},90^{\circ }\right[\cup \left]180^{\circ },270^{\circ }\right[
\tan x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{{\circ }},180^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right[

Die Vorzeichen von \cot, \sec und \csc stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen \tan, \cos bzw. \sin .

Wichtige Funktionswerte

Darstellung wichtiger Funktionswerte von Sinus und Kosinus auf dem Einheitskreis
\alpha (°) \alpha (rad) \sin \alpha \cos \alpha \tan \alpha \cot \alpha
0^\circ \,0 \,0 \,1 \,0 \pm\infty
15^\circ \tfrac{\pi}{12} \tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2}) 2-\sqrt{3} 2+\sqrt{3}
18^\circ \tfrac{\pi}{10} \tfrac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \tfrac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}} \tfrac{1}{5}\sqrt{25-10\sqrt{5}} \sqrt{5+ 2\sqrt{5}}
30^{\circ } \tfrac{\pi}{6} \tfrac12 \tfrac12\sqrt3 \tfrac13\sqrt3 \sqrt3
36^{\circ } {\tfrac {\pi }{5}} \tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right) \sqrt{5- 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{5} \sqrt{25+ 10\sqrt{5}}
45^{\circ } \tfrac{\pi}{4} \tfrac12\sqrt2 \tfrac12\sqrt2  1\,  1\,
54^\circ {\tfrac {3\pi }{10}} \tfrac{1}{4} \left (1+ \sqrt{5} \right) \tfrac{1}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{5} \sqrt{25+ 10\sqrt{5}} \sqrt{5- 2\sqrt{5}}
60^{\circ } \tfrac{\pi}{3} \tfrac12\sqrt3 \tfrac12 \sqrt3 \tfrac13\sqrt3
72^{\circ } \tfrac{2\pi}{5} \tfrac{1}{4} \sqrt{10+ 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{4} \left (\sqrt{5}-1 \right) \sqrt{5+ 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{5} \sqrt{25 - 10\sqrt{5}}
75^\circ \tfrac{5\pi}{12} \tfrac14(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \tfrac14(\sqrt{6}-\sqrt{2}) 2+\sqrt{3} 2-\sqrt{3}
90^{\circ } {\tfrac {\pi }{2}} \,1 \,0 \pm\infty \,0
108^{\circ } \tfrac{3\pi}{5} \tfrac{1}{4} \sqrt{10+ 2\sqrt{5}} \tfrac{1}{4} \left (1- \sqrt{5} \right) -\sqrt{5+ 2\sqrt{5}} -\tfrac{1}{5} \sqrt{25 - 10\sqrt{5}}
120^{\circ } \tfrac{2\pi}{3} \tfrac12\sqrt3 -\tfrac12 -\sqrt3 -\tfrac13\sqrt3
135^{\circ } \tfrac{3\pi}{4} \tfrac12\sqrt2 -\tfrac12\sqrt2 -1\, -1\,
180^{\circ } \pi \, \,0 \,-1 \,0 \pm\infty
270^\circ \tfrac{3\pi}{2} \,-1 \,0 \pm\infty \,0
360^{\circ } 2\pi \,0 \,1 \,0 \pm\infty

Es sind noch viele weitere Werte darstellbar.

Symmetrien

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

 \sin (-x) = - \sin x \;
 \cos (-x) = + \cos x \;
 \tan (-x) = - \tan x \;
 \cot (-x) = - \cot x \;
 \sec (-x) = + \sec x \;
 \csc (-x) = - \csc x \;

Phasenverschiebungen

\sin \left(x+{\frac  {\pi }{2}}\right)=\cos x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \sin \left(x+90^{{\circ }}\right)=\cos x\;
\cos \left(x+{\frac  {\pi }{2}}\right)=-\sin x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cos \left(x+90^{{\circ }}\right)=-\sin x\;
\tan \left(x+{\frac  {\pi }{2}}\right)=-\cot x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \tan \left(x+90^{{\circ }}\right)=-\cot x\;
{\displaystyle \cot \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\tan x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cot \left(x+90^{\circ }\right)=-\tan x\;}

Rückführung auf spitze Winkel

{\displaystyle \sin x\ \;=\;\;\;\sin \left(\pi -x\right)\,\quad {\text{bzw.}}\quad \sin x\ =\;\;\;\sin \left(180^{\circ }-x\right)}
{\displaystyle \cos x\ \,=-\cos \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \cos x\ =-\cos \left(180^{\circ }-x\right)}
{\displaystyle \tan x\ =-\tan \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \tan x\ =-\tan \left(180^{\circ }-x\right)}

Darstellung durch den Tangens des halben Winkels

Mit der Bezeichnung t = \tan\tfrac{x}{2} gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges x

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2},   \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},
\tan x = \frac{2t}{1 - t^2},   \cot x = \frac{1 - t^2}{2t},
\sec x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},   \csc x = \frac{1 + t^2}{2t}.

Additionstheoreme

Für Sinus und Kosinus lassen sich die Additionstheoreme aus der Verkettung zweier Drehung um den Winkel x bzw. y herleiten. Das ist elementargeometrisch möglich; sehr viel einfacher ist das koordinatenweise Ablesen der Formeln aus dem Produkt zweier Drehmatrizen der Ebene \mathbb {R} ^{2}. Alternativ folgen die Additionstheoreme aus der Anwendung der Eulerschen Formel auf die Beziehung {\displaystyle \textstyle e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}}. Die Ergebnisse für das Doppelvorzeichen ergeben sich durch Anwendung der Symmetrien.

{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \sin y}
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cdot \cos y\mp \sin x\cdot \sin y}

Durch Erweiterung mit {\displaystyle \textstyle {1 \over \cos x\cos y}} bzw. {\displaystyle \textstyle {1 \over \sin x\sin y}} und Vereinfachung des Doppelbruchs:

{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}}={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\;\tan y}}}
{\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cos(x\pm y)}{\sin(x\pm y)}}={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}}

Für x=y folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen, für y = \pi/2 die Phasenverschiebungen.

{\displaystyle \sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\cos ^{2}y-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x-\sin ^{2}y}
{\displaystyle \cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\cos ^{2}y-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}y}

Additionstheoreme für Arkusfunktionen

Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme

Summanden Summenformel Gültigkeitsbereich
\arcsin x + \arcsin y= \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right) xy\leq 0 oder x^2+y^2\leq 1
  \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2}\right) x>0 und y>0 und x^2+y^2> 1
  -\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+ y\sqrt{1-x^2}\right) x<0 und y<0 und x^2+y^2> 1
\arcsin x - \arcsin y= \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right) xy\geq 0 oder x^2+y^2\leq 1
  \pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right) x>0 und y<0 und x^2+y^2> 1
  -\pi - \arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}- y\sqrt{1-x^2}\right) x<0 und y>0 und x^2+y^2> 1
\arccos x + \arccos y= \arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) x+y\geq 0
  2\pi - \arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) x+y<0
\arccos x - \arccos y= -\arccos\left(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) x+y\geq 0
  \arccos\left(xy+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right) x+y<0
\arctan x + \arctan y= \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) xy< 1
  \pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) x>0 und xy>1
  -\pi + \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) x<0 und xy>1
\arctan x - \arctan y= \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) xy> -1
  \pi + \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) x>0 und xy<-1
  -\pi + \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right) x<0 und xy<-1

Doppelwinkelfunktionen

 \sin (2x)= 2 \sin x \; \cos x = \frac{2 \tan x}{ 1 + \tan^2 x }
 \cos (2x)= \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = \frac{ 1 - \tan^2 x }{ 1 + \tan^2 x }
 \tan (2x)= \frac{ 2 \tan x }{ 1 - \tan^2 x } = \frac{2}{ \cot x - \tan x }
 \cot (2x)= \frac{ \cot^2 x - 1 }{2 \cot x } = \frac{ \cot x - \tan x}{2}

Winkelfunktionen für weitere Vielfache

Die Formeln für Vielfache berechnen sich normalerweise über die komplexen Zahlen aus der Euler-Formel {\displaystyle z=r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\iff z^{n}=r^{n}\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)^{n}} und der DeMoivre-Formel {\displaystyle z^{n}=r^{n}\left(\cos \left(n\phi \right)+i\sin \left(n\phi \right)\right)}. Damit ergibt sich {\displaystyle \cos \left(n\phi \right)+i\sin \left(n\phi \right)=\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)^{n}}. Zerlegung in Real- und Imaginärteil liefert dann die Formeln für {\displaystyle \cos } und {\displaystyle \sin } bzw. die allgemeine Reihendarstellung.

Die Formel für \cos(nx) steht über T_n(\cos x)=\cos(n x) mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.

 \sin (3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \,
 = \; \sin x \left( 4 \cos^2 x - 1 \right)
 \sin (4x) = 8 \sin x \; \cos^3 x - 4 \sin x \; \cos x
 = \; \sin x \left( 8 \cos^3 x - 4 \cos x \right)
 \sin (5x) = 5 \sin x - 20\sin^3 x + 16 \sin^5 x \;
 = \; \sin x \left( 16 \cos^4 x - 12 \cos^2 x + 1 \right)
{\displaystyle \sin(nx)=n\;\sin x\;\cos ^{n-1}x-{n \choose 3}\sin ^{3}x\;\cos ^{n-3}x+{n \choose 5}\sin ^{5}x\;\cos ^{n-5}x\;-\ldots +\ldots }
 = \; \sum_{j=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} (-1)^{j} {n \choose 2j + 1} \sin^{2j+1} x \; \cos^{n - 2j - 1} x
 = \; \sin x \sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} (-1)^k {n-k-1 \choose k} 2^{n-2k-1} \cos^{n-2k-1} x
 \cos (3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \,
 \cos (4x) = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1 \,
 \cos (5x) = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x \,
 \cos (6x) = 32 \cos^6 x - 48 \cos^4 x + 18 \cos^2 x - 1 \,
{\displaystyle \cos(nx)=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\sin ^{2}x\;\cos ^{n-2}x+{n \choose 4}\sin ^{4}x\;\cos ^{n-4}x\;-\ldots +\ldots }
 = \; \sum_{j=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} (-1)^{j} {n \choose 2j} \sin^{2j} x \; \cos^{n - 2j} x
 \tan (3x) = \frac{ 3 \tan x - \tan^3 x }{ 1 - 3 \tan^2 x }
 \tan (4x) = \frac{ 4 \tan x - 4 \tan^3 x }{ 1 - 6 \tan^2 x + \tan^4 x }
 \cot (3x) = \frac{ \cot^3 x - 3 \cot x }{ 3 \cot^2 x - 1 }
 \cot (4x) = \frac{ \cot^4 x - 6 \cot^2 x + 1 }{ 4 \cot^3 x - 4 \cot x }

Halbwinkelformeln

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln, welche sich mittels Substitution aus den Doppelwinkelformeln herleiten lassen:

{\displaystyle \sin {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0,2\pi \right]}
{\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left[-\pi ,\pi \right]}
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0,\pi \right[}
{\displaystyle \cot {\frac {x}{2}}={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{1-\cos x}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0,\pi \right]}

Außerdem gilt:

{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[}
{\displaystyle \cot {\frac {x}{2}}=\cot x+{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0,\pi \right[}

Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:

\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}
\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}
\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}
\cos x-\cos y=-2\sin {\frac  {x+y}{2}}\sin {\frac  {x-y}{2}}

  \left. \begin{matrix}
    \tan x+\tan y=\dfrac{\sin (x+y) }{\cos x\cos y}\\[1em]
    \tan x-\tan y=\dfrac{\sin (x-y) }{\cos x\cos y}
  \end{matrix} \right\} \Rightarrow \tan x \pm \tan y=\frac{\sin (x \pm y) }{\cos x\cos y}

  \left. \begin{matrix}
    \cot x + \cot y = \dfrac{\sin (y+x) }{\sin x\sin y}\\[1em]
    \cot x - \cot y = \dfrac{\sin (y-x) }{\sin x\sin y}
  \end{matrix} \right\} \Rightarrow \cot x \pm \cot y=\frac{\sin (y \pm x) }{\sin x\sin y}

Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:

\cos x + \sin x = \sqrt{2}\cdot\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cdot\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)
\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cdot\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\cdot\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)

Produkte der Winkelfunktionen

Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:

\sin x \; \sin y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) - \cos (x+y)\Big)
\cos x \; \cos y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) + \cos (x+y)\Big)
\sin x \; \cos y = \frac{1}{2}\Big(\sin (x-y) + \sin (x+y)\Big)
\tan x \; \tan y = \frac{\tan x + \tan y}{\cot x + \cot y} = - \frac{\tan x - \tan y}{\cot x - \cot y}
\cot x \; \cot y = \frac{\cot x + \cot y}{\tan x + \tan y} = - \frac{\cot x - \cot y}{\tan x - \tan y}
\tan x \; \cot y = \frac{\tan x + \cot y}{\cot x + \tan y} = - \frac{\tan x - \cot y}{\cot x - \tan y}
\sin x \; \sin y \; \sin z = \frac{1}{4} \Big(\sin (x+y-z) + \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) - \sin (x+y+z)\Big)
\cos x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(\cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) + \cos (x+y+z)\Big)
\sin x \; \sin y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(- \cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) - \cos (x+y+z)\Big)
\sin x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4} \Big(\sin (x+y-z) - \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) + \sin (x+y+z)\Big)

Aus der Doppelwinkelfunktion für \sin(2x) folgt außerdem:

\sin x \; \cos x = \frac{1}{2} \sin (2x)

Potenzen der Winkelfunktionen

Sinus

\sin^2 x = \frac{1}{2}\ \Big(1 - \cos (2x) \Big)
{\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\,\sin x-\sin(3x){\Big )}}
{\displaystyle \sin ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}3-4\,\cos(2x)+\cos(4x){\Big )}}
{\displaystyle \sin ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\,\sin x-5\,\sin(3x)+\sin(5x){\Big )}}
{\displaystyle \sin ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10-15\,\cos(2x)+6\,\cos(4x)-\cos(6x){\Big )}}
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,\cos {\Big (}(n-2k)(x-{\frac {\pi }{2}}\ ){\Big )}\ ;\quad n\in \mathbb {N} }
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{{\frac {n}{2}}-k}\,{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}}
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n-1}}}\,\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-k}\,{n \choose k}\,\sin {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}}

Kosinus

\cos^2 x = \frac{1}{2}\ \Big(1 + \cos (2x) \Big)
{\displaystyle \cos ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\,\cos x+\cos(3x){\Big )}}
{\displaystyle \cos ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}3+4\,\cos(2x)+\cos(4x){\Big )}}
{\displaystyle \cos ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\,\cos x+5\,\cos(3x)+\cos(5x){\Big )}}
{\displaystyle \cos ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10+15\,\cos(2x)+6\,\cos(4x)+\cos(6x){\Big )}}
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,\cos((n-2k)x);\quad n\in \mathbb {N} }
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}}
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n-1}}}\,\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}}

Tangens

{\displaystyle \tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}}=\sec ^{2}(x)-1}

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen

\sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt  {1-x^{2}}}
\sin(\arctan x)=\cos(\operatorname{arccot} x)={\frac  {x}{{\sqrt  {1+x^{2}}}}}
\sin(\operatorname{arccot} x)=\cos(\arctan x)={\frac  {1}{{\sqrt  {1+x^{2}}}}}
\tan(\arcsin x)=\cot(\arccos x)={\frac  {x}{{\sqrt  {1-x^{2}}}}}
\tan(\arccos x)=\cot(\arcsin x)={\frac  {{\sqrt  {1-x^{2}}}}{x}}
\tan(\operatorname{arccot} x)=\cot(\arctan x)={\frac  {1}{x}}

Weitere Formeln für den Fall α + β + γ = 180°

Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (Letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,
\cot \beta \cdot \cot \gamma + \cot \gamma \cdot \cot \alpha + \cot \alpha \cdot \cot \beta =1
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}
\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}=1
\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}
\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1
-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1
{\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }
{\displaystyle -\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma }
{\displaystyle \cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1}
{\displaystyle -\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1}
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2}
{\displaystyle -\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma }
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1}
{\displaystyle -\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1}
{\displaystyle -\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )}
-\cos ^{2} (2\alpha) +\cos ^{2} (2\beta) +\cos ^{2} (2\gamma) =2\cos (2\alpha) \,\sin (2\beta) \,\sin (2\gamma) +1
\sin ^{{2}}\left({\frac  {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{{2}}\left({\frac  {\beta }{2}}\right)+\sin ^{{2}}\left({\frac  {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac  {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac  {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac  {\gamma }{2}}\right)=1

Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase

\begin{align}
 a \sin \alpha + b \cos \alpha = & \begin{cases}
   \sqrt{a^2+b^2} \sin \left(\alpha +\arctan \left(\tfrac{b}{a}\right)\right) & \text{, für alle } a > 0\\
   \sqrt{a^2+b^2} \cos \left(\alpha -\arctan \left(\tfrac{a}{b}\right)\right) & \text{, für alle } b > 0
  \end{cases}
\end{align}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\cos \alpha +b\sin \alpha =\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(\alpha +\arctan \left(-{\tfrac {b}{a}}\right)\right)\end{aligned}}}
a \sin(x+\alpha)+ b \sin(x+\beta)= \sqrt{a^2+b^2+2a b \cos(\alpha-\beta)}\cdot\sin(x+\delta),

wobei \delta= \operatorname{atan2} (a \sin \alpha+b \sin \beta, a \cos \alpha+b\cos\beta).

Allgemeiner ist

\sum_i a_i \sin(x+\delta_i)= a \sin(x+\delta),

wobei

a^2=\sum_{i,j}a_i a_j \cos(\delta_i-\delta_j)

und

\delta= \operatorname{atan2} \left(\sum_i a_i \sin\delta_i, \sum_i a_i \cos\delta_i\right).

Ableitungen und Stammfunktionen

Reihenentwicklung

Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)

Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Kosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt x=0) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle x aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert (B_{n} bzw. \beta_n bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):

\begin{align}
\sin x&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\
&=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm\cdots \;,\qquad |x| < \infty 
\end{align}
\begin{align}
\cos x &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\
&=1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots \;,\qquad |x| < \infty 
\end{align}
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}(1-2^{2n})\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+\,\cdots \qquad |x|<{\tfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n-1}2^{2n}\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\,\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}}

Produktentwicklung

 \sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right)
 \cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right)
{\displaystyle \sin(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi }{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}\right)}
{\displaystyle \cos(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}\right)}
{\displaystyle \tan(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi }{x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right)}
{\displaystyle \csc(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }{x+n\pi }}\right)}
{\displaystyle \sec(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }{x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right)}
{\displaystyle \cot(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}{x+n\pi }}\right)}

Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion

Ferner besteht zwischen den Funktionen \sin x, \cos x und der komplexen Exponentialfunktion {\displaystyle \exp(\mathrm {i} x)} folgender Zusammenhang:

{\displaystyle \exp(\pm \mathrm {i} x)=\cos x\pm \mathrm {i} \sin x=e^{\pm \mathrm {i} x}} (Eulersche Formel)

Weiterhin wird {\displaystyle \cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}=:\operatorname {cis} (x)} geschrieben.

Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:

{\displaystyle \cos x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)+\exp(-\mathrm {i} x)}{2}}}
{\displaystyle \sin x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)-\exp(-\mathrm {i} x)}{2\mathrm {i} }}}

Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.

Sphärische Trigonometrie

Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.11. 2020