Satz des Heron
Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron.
Formulierung des Satzes
Der Flächeninhalt eines Dreiecks der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen , , und halbem Umfang
ist
Andere Darstellungen
Diese Formel lässt sich auch so ausdrücken:
- (V1)
Ausmultipliziert erhält man:
- (V2)
Als weitere Darstellung der heronischen Formel ist auch die folgende gängig:
- (V3) ,[1]
welche man aus der Version (V1) durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt:
Aus der Version (V3) lässt sich schließlich eine Darstellung mit einer Determinante ableiten:
- (V4) [2]
Dies ist ein Spezialfall der Cayley-Menger-Determinante, mit der man das Volumen eines Simplexes, der Verallgemeinerung von Dreiecken auf beliebige Dimensionen, zum Beispiel ein Tetraeder in drei Dimensionen, berechnen kann.
(V4) erhält man aus (V3) unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace und elementarer Matrizenumformungen wie folgt:
Zahlenbeispiel
Ein Dreieck mit den Seitenlängen , und hat den halben Umfang . Eingesetzt in die Formel erhält man den Flächeninhalt
Eine andere Darstellung der Formel ergibt
- In diesem Beispiel sind die Seitenlängen und der Flächeninhalt ganze Zahlen. Deshalb ist ein Dreieck mit den Seitenlängen 4, 13 und 15 ein heronisches Dreieck.
Zusammenhang mit Sehnenvierecken
Die Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta
- ,
wobei hier der halbe Umfang
ist.
Beweis
Beweis mit dem Satz des Pythagoras
Nach dem Satz des Pythagoras gilt und (siehe Abbildung). Subtraktion ergibt , also
Für die Höhe des Dreiecks gilt . Einsetzen der letzten Gleichung liefert
Anwenden der Quadratwurzel auf beiden Seiten ergibt
Daraus folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks
Beweis mit dem Kosinussatz
Nach dem Kosinussatz gilt
Eingesetzt in den trigonometrischen Pythagoras folgt daraus
Die Höhe des Dreiecks auf der Seite hat die Länge . Einsetzen der letzten Gleichung liefert
Beweis mit dem Kotangenssatz
Der Inkreisradius des Dreiecks sei . Mit Hilfe des Kotangenssatz erhält man für den Flächeninhalt
Mit der Gleichung für Dreiecke (siehe Formelsammlung Trigonometrie) folgt daraus
Außerdem gilt (siehe Abbildung). Aus der Multiplikation dieser Gleichungen ergibt sich
und daraus der Satz des Heron.
Anmerkungen
- ↑ Zu beachten ist hierbei, dass sich die Rollen der Seitenlängen beliebig vertauschen lassen.
- ↑ Auch hier lassen sich die Rollen der Seitenlängen vertauschen, was zu einer gleichwertigen, aber entsprechend abgewandelten Darstellung führt.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.06. 2021