Tangenssatz

In der Trigonometrie stellt der Tangenssatz (auch Regel von Napier) eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Tangens der halben Summe bzw. der halben Differenz zweier Winkel des Dreiecks her.

Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden Winkel α, β und γ gilt:

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

Wegen $\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}=\tan {\frac {180^{\circ }-\alpha }{2}}=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {\alpha }{2}}\right)=\cot {\frac {\alpha }{2}}$ kann man diese Formel auch schreiben als

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

Analoge Formeln für ${\frac {a+b}{a-b}}$ und ${\frac {a+c}{a-c}}$ erhält man durch zyklische Vertauschung:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$

${\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}$

Beweis

Nach dem Sinussatz gilt ${\tfrac {b}{c}}={\tfrac {\sin \beta }{\sin \gamma }}$ und damit folgt:

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {{\tfrac {\sin \beta }{\sin \gamma }}c+c}{{\tfrac {\sin \beta }{\sin \gamma }}c-c}}={\frac {\sin \beta +\sin \gamma }{\sin \beta -\sin \gamma }},$

und aufgrund von Identitäten die sich aus den Additionstheoremen ableiten lassen, ergibt sich

$\sin \beta +\sin \gamma =2\sin {\frac {\beta +\gamma }{2}}\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}.$

sowie

$\sin \beta -\sin \gamma =2\cos {\frac {\beta +\gamma }{2}}\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}$

Division ergibt die gewünschte Formel.

Siehe auch

Formelsammlung Trigonometrie

Basierend auf einem Artikel in:

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