Halbwinkelsatz

Die Halbwinkelsätze sind Formeln der Trigonometrie, die für spezielle, logarithmisch brauchbare Anwendungsfälle zur Ermittlung der Bestimmungsgrößen (Seiten a, b, c; Winkel $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ ) von allgemeinen Dreiecken entwickelt wurden. Entsprechende Sätze gelten für allgemeine Dreiecke auf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie).

Halbwinkelsätze in der Ebene

$\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$
$\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$
$\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$

wobei $s = \frac{a + b + c}{2}$

Die zur dritten Formel äquivalente Aussage

$\cot{\frac{\alpha}{2}} = \frac{s-a}{\rho} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$

ist auch als Kotangenssatz bekannt. $\rho$ bezeichnet hier den Inkreisradius.

Entsprechende Formeln gelten für die anderen Winkel.

Halbwinkelsätze auf der Kugeloberfläche

$\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b) \, \sin(s-c)}{\sin b \, \sin c}}$
$\cos{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin s \, \sin(s-a)}{\sin b \, \sin c}}$
$\tan{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{\sin(s-b) \, \sin(s-c)}{\sin s \, \sin (s-a)}}$

wobei $s = \frac{a + b + c}{2}$

Basierend auf einem Artikel in:

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