Goldener Schnitt

Proportionen beim Goldenen Schnitt einer Strecke: $\Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$

Als Goldener Schnitt (lateinisch sectio aurea, proportio divina) wird das Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderen Größe bezeichnet, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (auch Major genannt) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (dem Minor) gleich ist. Mit als Major und als Minor gilt also:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$ oder ${\frac {a}{a+b}}={\frac {b}{a}}$

Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt oder auch als Goldene Zahl bezeichnet. Als mathematisches Symbol für diese Zahl wird meist der griechische Buchstabe Phi ( $\Phi$ , $\phi$ oder $\varphi$ ), seltener auch Tau ( $\mathrm{T}$ , $\tau$ ) oder verwendet:

$\Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$

Die Kenntnis des Goldenen Schnittes ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen. Vereinzelt schon im Spätmittelalter (Campanus von Novara) und besonders dann in der Renaissance (Luca Pacioli, Johannes Kepler) wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Seit dem 19. Jahrhundert wurde er zunächst in der ästhetischen Theorie (Adolf Zeising) und dann auch in künstlerischer, architektonischer und kunsthandwerklicher Praxis als ein ideales Prinzip ästhetischer Proportionierung bewertet. Die Nachweisbarkeit einer derart besonderen ästhetischen Wirkung ist in der Forschung allerdings umstritten, desgleichen die historische Frage, ob der Goldene Schnitt auch schon bei der Proportionierung von Kunst- und Bauwerken älterer Epochen eine Rolle gespielt hat.

Das Verhältnis des Goldenen Schnitts ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder.

Definition und elementare Eigenschaften

Beide Rechtecke sind Goldene Rechtecke

Eine Strecke ${\overline {AB}}$ der Länge wird durch einen inneren Punkt so geteilt, dass das Verhältnis der Länge des größeren Teilabschnitts $\overline {AT}$ zur Länge des kleineren Teilabschnitts ${\overline {TB}}$ dem Verhältnis der gesamten Streckenlänge $s=a+b$ zur Länge des größeren Teilabschnitts gleich ist. Es gilt somit ${\overline {AB}}:{\overline {AT}}={\overline {AT}}:{\overline {TB}}$ beziehungsweise $(a+b):a=a:b$ . Diese Teilung heißt Goldener Schnitt der Strecke ${\overline {AB}}$ . Man spricht dann davon, dass der Punkt die Strecke ${\overline {AB}}$ im Goldenen Schnitt teilt oder auch von der stetigen Teilung der Strecke ${\overline {AB}}$ durch den Punkt . Das Verhältnis a:b der Streckenabschnitte ${\overline {AB}}$ und ${\overline {TB}}$ wird Goldene Zahl genannt.

Eine einfache Rechnung zeigt:

$\Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887$

Wird eine Strecke im Goldenen Schnitt geteilt, so gilt für den längeren Abschnitt

$a={\frac {s}{\Phi }}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}s=(\Phi -1)s\approx 0{,}618s$

und für den kürzeren

$b=s-{\frac {s}{\Phi }}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}s\approx 0{,}382s$

$b={\frac {s}{\Phi ^{2}}}={\frac {4}{6+2{\sqrt {5}}}}s\approx 0{,}382s.$

Die Goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch eine algebraische Zahl vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Ferner ist sie besonders schlecht durch Brüche approximierbar. Aus diesem Grund wird sie in der Literatur gelegentlich auch als irrationalste Zahl bezeichnet. Diese Eigenschaft wird im Abschnitt Approximationseigenschaften der Goldenen Zahl genauer erläutert.

Geometrische Aussagen

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Als Konstruktionsverfahren werden nach den Postulaten des Euklid nur diejenigen Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren, von denen im Folgenden exemplarisch nur einige erwähnt werden. Unterschieden wird dabei eine innere und äußere Teilung. Bei der äußeren Teilung wird der in der Verlängerung der Ausgangsstrecke außen liegende Punkt gesucht, der die vorhandene Strecke zum (größeren) Teil des Goldenen Schnittes macht. Der Goldene Schnitt stellt dabei einen Spezialfall der harmonischen Teilung dar. Aufgeführt werden im Folgenden auch zwei moderne, von Künstlern gefundene Konstruktionen.

Innere Teilung

Klassisches Verfahren mit innerer Teilung, das wegen seiner Einfachheit beliebt ist:

Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Innere Teilung nach Euklid:

Johann Friedrich Lorenz beschrieb im Jahr 1781 in seinem Buch Euklids Elemente folgende Aufgabenstellung von Euklid: „Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden, daß das Rectangel aus der Ganzen und Einem der Abschnitte, dem Quadrat des anderen Abschnitts gleich sey.“

Das Ergebnis der nebenstehenden Animation zeigt, die Strecke ${\overline {AB}}$ ist in einem Verhältnis geteilt, das man heute als den Goldenen Schnitt mit innerer Teilung bezeichnet.

Als Darstellung dieses Verfahrens hat sich eine vereinfachte Konstruktion, siehe linkes Bild, bewährt:

Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Konstruktion nach dem österreichischen Künstler Kurt Hofstetter, die dieser 2005 im Forum Geometricorum publizierte:

Halbiere die Strecke AB in M durch Streckensymmetrale mit Radius AB und konstruiere dabei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge AB und C unterhalb von AB.
Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck MBD mit Schenkellänge AB über der Grundlinie MB
Die Strecke CD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Äußere Teilung

Klassisches Verfahren mit äußerer Teilung:

Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C.
Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Dieses Verfahren wird z.B. für die Konstruktion des Fünfecks bei gegebener Seitenlänge verwendet.

Konstruktion nach dem amerikanischen Künstler George Odom, die dieser 1982 entdeckte:

Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S.
Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Anstatt stets neu konstruieren zu müssen, wurde im 19. Jahrhundert von Künstlern und Handwerkern ein Goldener Zirkel – ein auf das Goldene Verhältnis eingestellter Reduktionszirkel – benutzt. Insbesondere im Schreinerhandwerk wurde ein ähnliches Instrument in Form eines Storchschnabels benutzt.

Der Goldene Schnitt im Fünfeck und im Pentagramm

Pentagramm

→ Hauptartikel: Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks z.B. befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im goldenen Verhältnis, d.h., ${\overline {AD}}$ verhält sich zu $\overline{BD}$ wie $\overline{BD}$ zu $\overline{CD}$ . Der Beweis dazu nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.

Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt. Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es damit in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das in das innere Fünfeck gezeichnet werden könnte, und damit in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist. Eine Weiterentwicklung dieser Geometrie findet sich bei der Penrose-Parkettierung.

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch ${\overline {\mathrm {CD} }}={\overline {\mathrm {CC'} }}$ gilt. Ursache ist, dass das Dreieck $DCC^{\prime }$ zwei gleiche Winkel besitzt, wie durch Parallelverschiebung der Strecke $CC^{\prime }$ erkannt werden kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

${\frac {\overline {\mathrm {AB} }}{\overline {\mathrm {BB'} }}}={\frac {\overline {\mathrm {AC} }}{\overline {\mathrm {CC'} }}}$

Wird ${\overline {\mathrm {AC} }}={\overline {\mathrm {AB} }}+{\overline {\mathrm {BC} }}$ ersetzt und die Gleichheit der auftretenden Teilstücke beachtet, so wird genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt erhalten.

Goldenes Rechteck und Goldenes Dreieck

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als Goldenes Rechteck benannt und ebenso ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, als Goldenes Dreieck.

Zum Vergleich von Rechtecksproportionen siehe Abschnitt Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen.
Ein Goldenes Dreieck ist Inhalt der Methode innere Teilung im Abschnitt Konstruktionen mit Zirkel und Lineal,

Goldener Winkel

Der Goldene Winkel ( $\approx 137{,}5^{\circ }$ ) ist der Kreiswinkel des kleineren Kreisbogens

, wenn er mit dem größeren Kreisbogen einen Kreis vom Umfang

bildet und das Verhältnis

dem Goldenen Schnitt entspricht.

Blattstand einer Pflanze mit einem Blattabstand nach dem Goldenen Winkel

Der Goldene Winkel wird erhalten, wenn der Vollwinkel im Goldenen Schnitt geteilt wird. Dies führt auf den überstumpfen Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi }}\approx 3{,}88\approx 222{,}5^{\circ }.$ Gewöhnlich wird aber seine Ergänzung zum Vollwinkel, $2\pi -{\tfrac {2\pi }{\Phi }}\approx 2{,}40\approx 137{,}5^{\circ }$ als Goldener Winkel bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass Drehungen um $\pm 2\pi$ keine Rolle spielen und das Vorzeichen nur den Drehsinn des Winkels bezeichnet.

Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa für die Blattansätze im Bild. Wie bei jeder irrationalen Zahl werden dabei nie exakte Überdeckungen entstehen. Weil die Goldene Zahl im unten beschriebenen Sinn die „irrationalste“ Zahl darstellt, wird dabei erreicht, dass die Überdeckung der Blätter, welche die Photosynthese behindert, in der Summe minimiert wird.

Dabei zerlegen die ersten Positionen den Kreis in Ausschnitte. Diese Ausschnitte haben höchstens drei verschiedene Winkel. Im Fall einer Fibonacci-Zahl $n=f_{k}$ treten nur zwei Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k-1}}},{\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k}}}$ auf. Für $f_{k}<n<f_{k+1}$ tritt der Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k+1}}}$ hinzu.

Betrachtet man für wachsendes fortfolgend die sich verfeinernden Zerlegungen des Kreises, so teilt die (n+1) -te Position stets einen der verbliebenen größten Ausschnitte, und zwar immer den im Verlauf der Teilungen zuerst entstandenen, d.h. den „ältesten“ Ausschnitt. Diese Teilung erfolgt im goldenen Verhältnis, sodass, im Uhrzeigersinn gesehen, ein Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{l}}}$ mit geradem vor einem Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{l\pm 1}}}$ mit ungeradem $l\pm 1$ liegt.

Wenn wir den Ausschnitt mit dem Winkel ${\tfrac {2\pi }{\Phi ^{k}}}$ mit w_k bezeichnen, so erhalten wir so nacheinander die Kreiszerlegungen $w_{0},$ $w_{2}w_{1},$ $w_{2}w_{2}w_{3},$ $w_{4}w_{3}w_{2}w_{3},$ $w_{4}w_{3}w_{4}w_{3}w_{3},$ $w_{4}w_{3}w_{4}w_{3}w_{4}w_{5},$ $w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{3}w_{4}w_{5},$ $w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5},$ $w_{6}w_{5}w_{4}w_{5}w_{4}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5},$ $w_{6}w_{5}w_{4}w_{5}w_{6}w_{5}w_{4}w_{5}w_{4}w_{5}$ usw.

Goldene Spirale

Goldene Spirale, genähert durch Viertelkreise. Das Verhältnis der Radien der Kreissektoren entspricht der Fibonacci-Folge.

Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale. Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren (siehe nebenstehendes Bild). Sie wird oft durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor $\Phi$ .

Es gilt

$\textstyle r(\theta )=ae^{k\theta }=a\Phi ^{\frac {2\theta }{\pi }}$

mit der Steigung $\textstyle k=\pm {\frac {\ln {\Phi }}{\alpha _{\llcorner }}}$ , wobei $\alpha _{\llcorner }$ hierbei der Zahlenwert für den rechten Winkel, also 90° bzw. ${\tfrac {\pi }{2}}$ ist, also $\textstyle k={\frac {2\ln(\Phi )}{\pi }}$ mit der Goldenen Zahl $\textstyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ .

Mithin gilt für die Steigung:

$\textstyle |k|\approx 0{,}005346798/{}^{\circ }\approx 0{,}30634896/\mathrm {rad}$

Die Goldene Spirale ist unter den logarithmischen Spiralen durch die folgende Eigenschaft ausgezeichnet. Seien $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ vier auf der Spirale aufeinanderfolgende Schnittpunkte mit einer Geraden durch das Zentrum. Dann sind die beiden Punktepaare $P_{1},P_{4}$ und P_2,P_3 harmonisch konjugiert, d.h., für ihr Doppelverhältnis gilt

$(P_{\theta },P_{\theta +3\pi };P_{\theta +\pi },P_{\theta +2\pi })={\frac {(-\Phi ^{6}-\Phi ^{4})(-\Phi ^{2}-1)}{(-\Phi ^{6}+\Phi ^{2})(\Phi ^{4}-1)}}={\frac {-\Phi ^{2}}{(-\Phi ^{2}+1)^{2}}}=-1.$

Goldener Schnitt im Ikosaeder

Drei Goldene Rechtecke im Ikosaeder

Die zwölf Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von drei gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Diese Anordnung der drei Rechtecke wird auch Goldener-Schnitt-Stuhl genannt. Weil der Ikosaeder zum Pentagondodekaeder dual ist, bilden die zwölf Mittelpunkte der Fünfecke ebenfalls die Ecken eines Goldener-Schnitt-Stuhls.

Mathematische Eigenschaften

Herleitung des Zahlenwertes

Algebraisch

Die in der Einleitung angegebene Definition

${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$

lautet mit aufgelöster rechter Seite und nach Umstellung

${\frac {a}{b}}-1-{\frac {b}{a}}=0$

beziehungsweise mit ${\tfrac {a}{b}}=\Phi$ wie folgt:

$\Phi -1-{\frac {1}{\Phi }}=0$

Multiplikation mit $\Phi$ ergibt die quadratische Gleichung

$\Phi ^{2}-\Phi -1=0$

mit den beiden Lösungen ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}618\ldots$ und ${\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0{,}618\ldots$

Da von diesen beiden Werten nur der positive für die Goldene Zahl in Frage kommt, folgt

$\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}618\ldots$

Geometrisch

Geometrische Herleitung
Major

liefert die goldene Zahl $\Phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ .
Animation

Der Ansatz ist die in der Einleitung angegebene Definition

$\Phi ={\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$

mit einem Major a=1 .

Auf einer Zahlengeraden wird zuerst der Zahlenwert $0$ als Punkt bezeichnet und anschließend der Major als Zahlenwert abgetragen, dabei ergibt sich der Schnittpunkt . Nach dem Errichten des Lots auf die Strecke ${\overline {AS}}$ in wird ab dem Punkt die Strecke ${\overline {AS}}$ auf das Lot abgetragen, es entsteht der Schnittpunkt Halbiert man nun ${\overline {AS}}$ in erzeugt dieser den Zahlenwert ${\tfrac {1}{2}}.$ Die Punkte $M,S$ und sind Eckpunkte des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten ${\overline {MS}}={\tfrac {1}{2}}$ und ${\overline {SC}}=1.$

Mithilfe des Satzes des Pythagoras

${\overline {MC}}^{2}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+1^{2}={\frac {5}{4}}$

erhält man somit die Hypotenuse ${\overline {MC}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}.$

Abschließend bedarf es noch eines Kreisbogens um (Zahlenwert ${\tfrac {1}{2}}$ ) mit dem Radius ${\tfrac {\sqrt {5}}{2}},$ der die Zahlengerade in schneidet, den Minor als Strecke ${\overline {SB}}$ aufzeigt und den Zahlenwert ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {5}}{2}}$ liefert.

Der Zahlenwert von $\Phi$ ist somit auf der Zahlengeraden direkt ablesbar:

${\overline {AB}}=a+b={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\;{\mathrel {\widehat {=}}}\;\Phi$

Zusammengefasst ergibt es ebenfalls

$\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}618\ldots$

Die Goldene Zahlenfolge

Goldene Zahlenfolge für a₀ = 1
	$a_{z}=\Phi ^{z}\cdot a_{0}$
4	≈ 6,854	$\Phi ^{4}=3\cdot \Phi +2$
3	≈ 4,236	$\Phi ^{3}=2\cdot \Phi +1$
2	≈ 2,618	$\Phi ^{2}=\Phi +1$
1	≈ 1,618	$\Phi$
0	= 1,000	$\Phi ^{0}=1$
−1	≈ 0,618	$\Phi ^{-1}=\Phi -1$
−2	≈ 0,382	$\Phi ^{-2}=-\Phi +2$
−3	≈ 0,236	$\Phi ^{-3}=2\cdot \Phi -3$
−4	≈ 0,146	$\Phi ^{-4}=-3\cdot \Phi +5$

Zu einer gegebenen Zahl $a_{0}$ lässt sich eine Folge $a_{z}:=\Phi ^{z}\cdot a_{0}$ für $z\in \mathbb {Z}$ konstruieren. Diese Folge hat die Eigenschaft, dass je drei aufeinanderfolgende Glieder $(a_{z-1},a_{z},a_{z+1})$ einen Goldenen Schnitt bilden, das heißt, es gilt

${\frac {a_{z}}{a_{z-1}}}={\frac {a_{z+1}}{a_{z}}}$ sowie $a_{z+1}=a_{z}+a_{z-1}$ für alle $z\in \mathbb {Z} .$

Diese Folge spielt in der Proportionslehre in Kunst und Architektur eine wichtige Rolle, weil sich zu einer gegebenen Länge $a_{0}$ weitere dazu harmonisch wirkende Längen erzeugen lassen. Dadurch lassen sich auch Objekte sehr unterschiedlicher Abmessungen, wie Fenster- und Raumbreite, mittels des Goldenen Schnitts in Bezug setzen und ganze Serien untereinander harmonischer Maße erstellen.

Erwähnenswert ist, dass sich für a_0 = 1 die Nachkommastellen für $a_{{-1}}$ , $a_{1}$ und $a_{2}$ nicht unterscheiden, da sie positiv sind und die Differenz zwischen ihnen ganzzahlig ist. So ist die Nachkomma-Zahl hierbei stets x,618.033.988.75… mit x= 0, 1, 2.

Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen

Verhältnisse aufeinanderfolgender
Fibonacci-Zahlen
$f_{n}$	$f_{{n+1}}$	${\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}$	Abweichung zu $\Phi$ in %
1	1	= 1,0000	−38
1	2	= 2,0000	+23
2	3	= 1,5000	−7,3
3	5	≈ 1,6667	+3,0
5	8	= 1,6000	−1,1
8	13	= 1,6250	+0,43
13	21	≈ 1,6154	−0,16
21	34	≈ 1,6190	+0,063
34	55	≈ 1,6176	−0,024
55	89	≈ 1,6182	+0,0091
89	144	≈ 1,6180	−0,0035
144	233	≈ 1,6181	+0,0013

In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendliche Zahlenfolge der Fibonacci-Zahlen (siehe unten die Abschnitte Mittelalter und Renaissance):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Die jeweils nächste Zahl in dieser Folge wird als Summe der beiden vorangehenden erhalten. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Folge strebt gegen den Goldenen Schnitt (siehe Tabelle). Das rekursive Bildungsgesetz $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$ bedeutet nämlich

${\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}={\frac {f_{n}+f_{n-1}}{f_{n}}}=1+{\frac {f_{n-1}}{f_{n}}}.$

Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert $\Phi$ konvergiert, muss für diesen gelten

$\Phi =1+{\frac {1}{\Phi }}.$

Diese Argumentation gilt auch für verallgemeinerte Fibonacci-Folgen mit zwei beliebigen Anfangsgliedern.

Die Glieder der Fibonacci-Folge $f_{n}$ lassen sich für alle $n\in \mathbb {N}$ über die Formel von Jacques Philippe Marie Binet berechnen:

$f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\Phi ^{n}-{\bar {\Phi }}^{n})$

mit ${\bar {\Phi }}=1-\Phi =-{\frac {1}{\Phi }}={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$

Diese Formel liefert die richtigen Anfangswerte $f_{0}=0$ und $f_{1}=1$ und erfüllt die rekursive Gleichung $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$ für alle mit $n\geq 1$ .

Approximationseigenschaften der Goldenen Zahl

Wie weiter oben schon angegeben, ist die Goldene Zahl $\Phi$ eine irrationale Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie wird manchmal die „irrationalste“ aller Zahlen genannt, weil sie sich (in einem speziellen zahlentheoretischen Sinn) besonders schlecht durch rationale Zahlen approximieren lässt (diophantische Approximation). Dies soll im Folgenden durch einen Vergleich mit der ebenfalls irrationalen Kreiszahl $\pi$ illustriert werden. Letztere ist wesentlich besser approximierbar als $\Phi$ , zum Beispiel lässt $\pi$ sich durch den Bruch ${\tfrac {22}{7}}$ mit einer Abweichung von nur zirka 0,00126 approximieren. Ein derartig geringer Fehler wäre im Allgemeinen erst bei einem sehr viel größeren Nenner zu erwarten.^[1]

Die Goldene Zahl lässt sich direkt aus der Forderung nach möglichst schlechter Approximierbarkeit durch rationale Zahlen konstruieren. Um das zu verstehen, ist das folgende Verfahren zur Approximation beliebiger Zahlen durch einen Bruch am Beispiel der Zahl $\pi$ zu bedenken. Zunächst wird diese Zahl in ihren ganzzahligen Anteil und einen Rest zerlegt, der kleiner als ist: $\pi =3+{\text{Rest}}$ . Der Kehrwert dieses Restes ist eine Zahl, die größer als ist. Sie lässt sich daher wiederum zerlegen in einen ganzzahligen Anteil und einen Rest kleiner als : $\pi =3+{\tfrac {1}{7+{\text{Rest}}}}$ . Wird mit diesem Rest und allen folgenden ebenso verfahren, dann folgt die unendliche Kettenbruchentwicklung der Zahl $\pi$

$\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+\dotsb }}}}}}$

Wird diese Kettenbruchentwicklung nach endlich vielen Schritten abgebrochen, dann werden für $\pi$ die bekannten Näherungen , ${\tfrac {22}{7}}$ , ${\tfrac {333}{106}}$ , ${\tfrac {355}{113}}$ , … erhalten, die rasch gegen $\pi$ streben. Für jeden einzelnen dieser Brüche gilt, dass es keinen Bruch mit einem höchstens gleich großen Nenner gibt, der $\pi$ besser approximiert. Dies gilt ganz allgemein:

Wenn die Kettenbruchentwicklung einer irrationalen Zahl an irgendeiner Stelle abgebrochen wird, so ergibt sich eine rationale Zahl p/q

, die optimal approximiert unter allen rationalen Zahlen mit Nenner $\leq q$ .^[2]

Im obigen Kettenbruch erscheint vor jedem Pluszeichen eine ganze Zahl. Je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist der Bruch, in dessen Nenner sie steht, und umso kleiner ist daher auch der Fehler, der entsteht, wenn der unendliche Kettenbruch vor diesem Bruch abgebrochen wird. Die größte Zahl im obigen Abschnitt des Kettenbruchs ist die . Das ist der Grund, warum ${\tfrac {22}{7}}$ eine derart gute Approximation für $\pi$ darstellt.

In Umkehrung dieser Argumentation folgt nun, dass die Approximation besonders schlecht ist, wenn die Zahl vor dem Pluszeichen besonders klein ist. Die kleinste zulässige Zahl dort ist aber die . Der Kettenbruch, der ausschließlich Einsen enthält, lässt sich daher besonders schlecht durch rationale Zahlen approximieren und ist in diesem Sinn die „irrationalste aller Zahlen“.

Für die Goldene Zahl gilt nun aber $\Phi =1+{\tfrac {1}{\Phi }}$ (siehe oben), woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt

$\Phi =1+{\frac {1}{\Phi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\Phi }}}}=\dotsb =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {\cdots }{\dotsb +{\cfrac {1}{\Phi }}}}}}}}}}$

Da die Kettenbruchentwicklung der Goldenen Zahl $\Phi$ also nur Einsen enthält, gehört sie zu den Zahlen, die besonders schlecht rational approximierbar sind. Bricht ihre Kettenbruchentwicklung an irgendeiner Stelle ab, so wird stets ein Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen erhalten.

Eine weitere kuriose Bezeichnung ist die folgende: In der Theorie der dynamischen Systeme werden Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgendeiner Stelle nur noch Einsen enthält, als „noble Zahlen“ bezeichnet. Da die Goldene Zahl nur Einsen in ihrem Kettenbruch hat, kann sie (scherzhaft) als „nobelste aller Zahlen“ bezeichnet werden.

Aus algebraisch-zahlentheorischer Sicht

Der Goldene Schnitt ist als Nullstelle des Polynoms $X^{2}-X-1$ eine algebraische Zahl. Weil das Polynom normiert ist und alle Koeffizienten ganzzahlig sind, ist der Goldene Schnitt sogar ganz. Es sei $K:=\mathbb {Q} (\Phi )=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ , dann ist $K/\mathbb {Q}$ eine Körpererweiterung von Grad 2. Damit ist ein quadratischer Zahlkörper. Es ist der reellquadratische Zahlkörper kleinster Diskriminante, nämlich 5 (der reellquadratische Zahlkörper mit nächstgrößerer Diskriminante ist $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ mit Diskriminante 8). Es sei ${\mathcal {O}}_{K}$ der zugehörige Ganzheitsring. Weil $\Phi$ ganz ist, gilt $\Phi \in {\mathcal {O}}_{K}$ , aber mehr als das: Wegen

$N_{K/\mathbb {Q} }(\Phi )=\Phi \Phi '={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1-5}{4}}=-1\in \mathbb {Z} ^{\times }$

ist der Goldene Schnitt sogar Einheit des Ganzheitsrings ${\mathcal {O}}_{K}$ . Sein multiplikativ Inverses ist $-\Phi '={\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=\Phi -1$ . Dies lässt sich auch algebraisch allein durch Kenntnis des Minimalpolynoms $X^{2}-X-1$ zeigen:

$\Phi (\Phi -1)=\Phi ^{2}-\Phi =\Phi ^{2}-\Phi -(\Phi ^{2}-\Phi -1)=1.$

Jedoch ist der Goldene Schnitt nicht nur eine Einheit des Ganzheitsrings ${\mathcal {O}}_{K}$ , sondern sogar Fundamentaleinheit des Ganzheitsrings. Das bedeutet, jedes Element aus ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$ ist von der Form $\pm \Phi ^{n}$ mit $n\in \mathbb {\mathbb {Z} }$ . Darüber hinaus bilden $1,\Phi \in {\mathcal {O}}_{K}$ eine $\mathbb {Z}$ -Basis von ${\mathcal {O}}_{K}$ . Das heißt, jedes Element aus ${\mathcal {O}}_{K}$ lässt sich eindeutig als $a+b\Phi$ mit $a,b\in {\mathbb Z}$ schreiben. Eine einfache Konsequenz des nächsten Absatzes ist, dass auch $1,\Phi ^{2}\in {\mathcal {O}}_{K}$ eine $\mathbb {Z}$ -Basis von ${\mathcal {O}}_{K}$ bilden. Dabei ist $\Phi ^{2}={\tfrac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$ .

Die ganzen Randpunkte der konvexen Hülle von ${\mathcal {O}}_{K}^{+}:=\{x\in {\mathcal {O}}_{K}\mid x\gg 0\}$ , die beispielsweise für die Desingularisierung von Spitzen Hilbertscher Modulflächen von Bedeutung sind, sind durch die geraden Potenzen von $\Phi$ gegeben. Dass diese Randpunkte alle in ${\mathcal {O}}_{K}^{\times }$ liegen, also alles Einheiten sind, ist äquivalent zur Singularität der in der Auflösung der Spitze „unendlich“ über dieser lebenden rationalen Kurven in der dem Körper assoziierten Hilbertschen Modulfläche.

Weitere mathematische Eigenschaften

Aus $\Phi ^{2}=1+\Phi$ lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:

$\Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}}}}}$

Das Quadrat $\Phi ^{2}=\Phi +1$ und jede höhere ganzzahlige Potenz von $\Phi$ lassen sich als Summe aus einem ganzzahligen Vielfachen von $\Phi$ und einem ganzzahligen Vielfachen von 1 darstellen. Auf dieser Eigenschaft beruht die fundamentale Bedeutung des Goldenen Schnitts für quasiperiodische Gitter (siehe Quasikristall).
Genauer gilt $\Phi ^{n}=\Phi ^{n-1}+\Phi ^{n-2}=f_{n-1}+f_{n}\cdot \Phi =f_{n+1}+f_{n}\cdot {\tfrac {1}{\Phi }}$ (wobei $f_{n}$ die -te Fibonacci-Zahl ist).

Einen kurzen Beweis dieses Zusammenhangs liefert die direkte Darstellung der Fibonacci-Zahlen unter Nutzung von $\Phi ^{-1}=-\Psi$ und $\Psi ^{-1}=-\Phi$ :

$(\Phi -\Psi )(f_{n-1}+f_{n}\cdot \Phi )=\Phi ^{n-1}-\Psi ^{n-1}+\Phi ^{n+1}-\Psi ^{n}\Phi =-\Psi \Phi ^{n}+\Phi \Psi ^{n}+\Phi ^{n+1}-\Phi \Psi ^{n}=(\Phi -\Psi )\Phi ^{n}$ , da $\pm \Phi \Psi ^{n}$ herausfällt;

die erste Behauptung entsteht nach Division durch $(\Phi -\Psi )\neq 0$ . - Beim analogen Nachweis der zweiten Behauptung fällt $\pm \Psi ^{n+1}$ heraus.

Aus der Trigonometrie folgt unter anderem

$\Phi =2\cos {\big (}{\tfrac {\pi }{5}}{\big )}=2\sin {\big (}{\tfrac {3\pi }{10}}{\big )}$

und

${\frac {1}{\Phi }}=2\sin {\big (}{\tfrac {\pi }{10}}{\big )}=2\cos {\big (}{\tfrac {2\pi }{5}}{\big )}.$

${\tfrac {\pi }{5}}$ ist der volle Spitzwinkel und ${\tfrac {3\pi }{10}}$ die Hälfte des stumpfen Außenwinkels des Pentagramms. Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das Fünfeck als vergleichbar bedeutend bezeichnet wie die der Kreiszahl $\pi$ für den Kreis.

Der Goldene Schnitt lässt sich auch mit Hilfe der eulerschen Zahl und der hyperbolischen Areasinus-Funktion ausdrücken:

$\Phi ^{\pm 1}=e^{\operatorname {arsinh} {\big (}\pm {\tfrac {1}{2}}{\big )}}$

Einsetzen von $q={\tfrac {1}{\Phi }}$ in die für gültige geometrische Reihenformel $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }q^{k}={\frac {q}{1-q}}$ ergibt

$\Phi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\Phi ^{k}}}$ , denn $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\Phi ^{k}}}={\frac {\frac {1}{\Phi }}{1-{\frac {1}{\Phi }}}}={\frac {1}{\Phi -1}}=\Phi$ .

Anwendung des binomischen Lehrsatzes auf den Zusammenhang $\textstyle 1^{n}=({\frac {1}{\Phi }}+{\frac {1}{\Phi ^{2}}})^{n}=({\frac {1}{\Phi ^{2}}}+{\frac {1}{\Phi }})^{n}$ ergibt:

$1=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{\Phi ^{n+k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{\Phi ^{2n-k}}}$ , oder auch: $\Phi ^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {1}{\Phi ^{k}}}$ .

Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes

Geometrisches Mittel

Geometrisches Mittel:
teilt die Strecke ${\overline {AB}}$ im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
$x={\sqrt {a(a-x)}}$
$a={\sqrt {x(a+x)}}$

Wird die Strecke ${\overline {AB}}$ in ihrer Länge |AB| als reelle Zahl interpretiert, und die Teilung durch den Goldenen Schnitt im Punkt in die beiden Teilstrecken $\overline {AT}$ und ${\overline {BT}}$ als Zerlegung dieser Zahl in zwei Summanden und a-x , so ist das geometrische Mittel der Zahlen und a-x . Das folgt aus der allgemeinen Definition des geometrischen Mittels ${\bar {x}}_{\text{geom}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}}}$ , hier: $x={\sqrt[{2}]{a(a-x)}}$ . Des Weiteren folgt daraus unmittelbar, dass wiederum das geometrische Mittel von und a+x ist.

Für jedes beliebige reelle lässt sich daher sowohl eine mathematische Folge aufsteigend wie absteigend angeben. Die aufsteigende wie die absteigende Folge ist jeweils rekursiv definiert.

Für die aufsteigende Folge gilt: $a_{i+1}=a_{i}+{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})a_{i}$ mit dem Anfangspunkt $a_{0}=a$

Für die absteigende Folge gilt: $a_{i+1}=a_{i}-{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})a_{i}$ mit dem Anfangspunkt $a_{0}=a$

Stetige Teilung

Die geometrische Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes durch seine mehrfache Anwendung ist die stetige Teilung einer Strecke ${\overline {AB}}$ . Dabei wird die Strecke ${\overline {AB}}$ zunächst in eine kleinere Strecke ${\overline {AA'}}$ und eine größere ${\overline {A'B}}$ zerlegt. Die Strecke ${\overline {A'B}}$ (d.h. der größere der entstandenen Streckenabschnitte) wird nunmehr erneut einem Goldenen Schnitt unterzogen, wobei ${\overline {A''B}}$ als (neuer) größerer Streckenabschnitt und ${\overline {A'A''}}$ als kleinerer verbleiben. Dieser Schritt kann nun unendlich oft wiederholt werden, da auf Grund der mathematischen Eigenschaften des Goldenen Schnittes trotz der fortschreitenden Teilung es keinen Punkt $A^{{(n)}}$ geben wird, der mit dem ursprünglichen Punkt zusammenfällt.

Dieses allgemeingültige Vorgehen kann aber auch dadurch erreicht werden, dass im Punkt nach der Konstruktion von die Strecke ${\overline {AA'}}$ abgetragen wird: Der auf diese Weise entstehende Punkt A'' ist der gleiche, wie der soeben in der (allgemeinen) Zerlegung beschriebene Punkt A'' .

Diese Schrittfolge wird als stetige Teilung einer Strecke ${\overline {AB}}$ bezeichnet.

Analytisch ist damit die stetige Teilung als Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes ein Beispiel von Selbstähnlichkeit: Wird wiederum die entstandenen Längen der Strecken als reelle Zahlen interpretiert, so gilt: Wird die kürzere der beiden Strecken von der längeren subtrahiert, so ist eine noch kürzere Strecke a-b , zu der die mittlere Strecke wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnittes, also

${\frac {b}{a-b}}={\frac {a}{b}}.$

Diese Aussage ist analytisch wiederum identisch zu der absteigenden geometrischen Folge des vorangegangenen Abschnittes. Für die Verlängerung einer gegebenen Strecke gilt demzufolge die gleiche Aussage, sie führt zur aufsteigenden geometrischen Folge.

Aus dieser Aussage heraus gilt aber auch: Ein Rechteck mit den Seiten und entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a+b und der Fall ist. Ein Goldenes Rechteck lässt sich daher stets in ein kleineres Goldenes Rechteck und ein Quadrat zerlegen. Diese Verallgemeinerung ist wiederum Grundlage für die Konstruktion der (unendlichen) Goldenen Spirale, wie oben beschrieben.

Geschichte

Der Begriff Goldener Schnitt wurde erst ab der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts populär, obwohl die mathematischen Prinzipien schon seit der Antike bekannt waren. Auch der Begriff Goldene Zahl stammt aus dieser Zeit, noch 1819 wird dieser Begriff mit dem Meton-Zyklus in einem der griechischen Kalendersysteme in Verbindung gebracht.

Antike

Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes findet sich im zweiten Buch der Elemente des Euklid (um 300 v.Chr.), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später ins Lateinische als „proportio habens medium et duo extrema“ übersetzt, was heute als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.

Als historisch gesichert kann heute gelten, dass der Goldene Schnitt bereits vor Euklid bekannt war. Umstritten ist, ob die Entdeckung auf Hippasos von Metapont (spätes 6. Jahrhundert v. Chr.) oder auf Eudoxos von Knidos (um 370 v. Chr.) zurückgeht.^[3]

Mittelalter

Liber abbaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124r: Fibonacci-Zahlen am Rand der „Kaninchenaufgabe“

In seinem Rechenbuch Liber abbaci (nicht erhaltene Erstfassung 1202, erhaltene 2. Fassung nicht vor 1220), einem umfangreichen arithmetischen und algebraischen Lehrwerk über das Rechnen mit den indo-arabischen Ziffern, kommt der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“, kurz auch auf die später nach ihm benannte Fibonacci-Folge zu sprechen, und zwar im Zusammenhang mit der sogenannten Kaninchen-Aufgabe, in der zu errechnen ist, wie viele Kaninchenpaare bei einer Fortpflanzungsrate von einem Paar Jungkaninchen pro Elternpaar und Monat nach Ablauf eines Jahres insgesamt vorhanden sind, wenn ein erstes Paar bereits im ersten Monat und dessen Nachwuchs jeweils ab seinem zweiten Lebensmonat Junge wirft. Leonardo führt die Zahlenfolge für jeden Monat vor (2, 3, 5, 8 … bis 377) und weist darauf hin, dass sich jedes Glied der Reihe (ab dem dritten) durch Summierung der beiden vorhergehenden Reihenglieder errechnen lässt. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht, d.h., der Zusammenhang zum Goldenen Schnitt wird von ihm nicht dargestellt.

Dass ihm allerdings der (erst später so genannte) Goldene Schnitt bekannt und in der Tradition Euklids ein Begriff war, zeigt sich gegen Ende seines Werks bei einer algebraischen Aufgabe, in der es darum geht (in moderner Formulierung wiedergegeben)^[4] und zu finden mit 10=a+b und ${\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {b}{a}}={\sqrt {5}}$ .

Hierzu weist Leonardo darauf hin, dass im Fall von a>b die Proportion 10:a=a:b gilt, 10 also von und im Verhältnis des Goldenen Schnittes (ohne diesen Begriff zu gebrauchen) geteilt wird („et scis, secundum hanc diuisionem, 10 diuisa esse media et extrema proportione; quia est sicut 10 ad maiorem partem, ita maior pars ad minorem“).^[5]

Renaissance

Der vitruvianische Mensch, Leonardo da Vinci, 1492, Proportionsstudie nach Vitruv

Einen Zusammenhang zwischen Fibonacci-Folge und Goldenem Schnitt stellte Leonardo jedoch noch nicht her: Die Entdeckung, dass sich bei Teilung eines Gliedes der Fibonacci-Folge durch das vorhergehende Reihenglied als Näherungswert $\Phi$ ergibt, wurde lange Zeit Johannes Kepler zugeschrieben, konnte jedoch in jüngerer Zeit auch schon in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein mutmaßlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16. Jahrhunderts Euklids Theorem II.11 in der Euklid-Ausgabe Paciolis von 1509 kommentierte:

“Sit linea ab 233 pedum, divisa ut docet 11 huius in duo inaequalia in puncto h et sit bh portio eius maior 144 et ha portio eius minor 89. ducatur ab in ha et perveniunt 20737 et bh in se et perveniunt 20736. et sic cognosces quod in mutationibus non est laborandum quid impossibile est numerum ita dividi ut ista 11 proponit. similiter accidit si linea 13 pedum dividatur in lineam 8 pedum, et lineam 5.”

„Eine Gerade ab von 233 Fuß sei so, wie es Theorem 11 hier vorführt, an einem Punkt h in zwei ungleiche Teile geteilt, und dabei sei bh sein größerer Teil mit 144 und ha sein kleinerer Teil mit 89. ab sei multipliziert mit ha, und es ergeben sich 20737, und bh multipliziert mit sich selbst, so ergeben sich 20736. Und daran magst du erkennen, dass man sich nicht mit Ersetzungen abzumühen braucht, um zu zeigen, dass es unmöglich ist, die Zahl so zu teilen, wie es hier Theorem 11 vorführt. Das gleiche ergibt sich, wenn eine Gerade von 13 Fuß in eine Gerade von 8 und eine von 5 Fuß geteilt wird.“^[6]

Auch der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskaner Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität von Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung „göttliche Teilung“, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk De divina proportione von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v.Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis von Seite des den Menschen umgebenden Quadrats zu Radius des umgebenden Kreises – nicht das Verhältnis der Proportionen des Menschen selbst – in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten sein.

Im Oktober 1597 stellte Johannes Kepler in einem Brief an seinen früheren Tübinger Professor Michael Maestlin die Frage, warum es nur eine einzige mögliche Lösung gebe für die Aufgabe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht. Auf das Original dieses Briefes notierte Maestlin eine Berechnung, die die Hypotenuse einmal mit 10 und einmal mit 10.000.000, und für den letzteren Fall dann die längere Seite mit 7.861.514 und die kürzeste Seite mit 6.180.340 beziffert. Das entspricht einer bis auf die sechste Nachkommastelle genauen (und bis zur fünften korrekten) Angabe des Goldenen Schnittes und ist nach den älteren sexagesimalen Berechnungen der Antike die erste bekannte dezimale Angabe dieser Art.

19. und 20. Jahrhundert

In Abhandlungen verschiedener Autoren im 19. Jahrhundert, insbesondere von dem Philosophen Adolf Zeising wurden die beiden Schriften von Pacioli und da Vinci zu der These kombiniert, Pacioli habe in der „De Divina Proportione“ in Zusammenarbeit mit Leonardo da Vinci einen Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt hergestellt und damit seine Wiederentdeckung für die Malerei der Renaissance begründet. Zeising war überdies von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik überzeugt, dessen Basis der Goldene Schnitt sein müsse. Er suchte und fand den Goldenen Schnitt überall. Seine Schriften verbreiteten sich rasch und begründeten eine wahre Euphorie bezüglich des Goldenen Schnittes. Andererseits zeigt eine Untersuchung der Literatur, dass vor Zeising niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte. Entsprechende Funde sind daher heute unter Kunsthistorikern eher umstritten, wie Neveux 1995 nachwies.

Eine der ersten gesicherten Verwendungen der Bezeichnung Goldener Schnitt wurde 1835 von Martin Ohm (1792–1872; Bruder von Georg Simon Ohm) in einem Lehrbuch der Mathematik verwendet. Auch die Bezeichnung sectio aurea entstand erst in dieser Zeit.

Gustav Theodor Fechner, ein Begründer der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchspersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest. Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.

Ende des 20. Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von Originalgemälden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten würden, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren.

Vorkommen in der Natur

Biologie

Anordnung von Blättern im Abstand des Goldenen Winkels von oben betrachtet. Das Sonnenlicht wird optimal genutzt.

Das spektakulärste Beispiel für Verhältnisse des Goldenen Schnittes in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn die beiden Blattansätze durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung gebracht wird. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Die daraus entstehenden Strukturen werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Auf diese Weise findet sich ein Muster einer tieferen Strukturebene in höheren Ebenen wieder. Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadeln an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten sowie die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jedem Blattansatz einen besonderen Wachstumshemmer (Inhibitor) erzeugen, der im Pflanzenstamm – vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung – diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer rationalen Zahl ${\tfrac {m}{n}}$ teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl ist nun aber gerade die Goldene Zahl (siehe oben). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird, eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder auch im effizienteren Transport der durch Photosynthese entstandenen Kohlenhydrate im Phloemteil der Leitbündel nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, … korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschiedenen Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen

Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang der Pflanzenachse besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinanderfolgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand , wobei eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das -Fache des Goldenen Winkels $2\pi -{\tfrac {2\pi }{\Phi }}\approx 137{,}5^{\circ }$ ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen

$n\cdot 360^{\circ }\cdot \left(1-{\frac {1}{\Phi }}\right)\approx n\cdot {\frac {m}{n}}\cdot 360^{\circ }=m\cdot 360^{\circ },$

wobei die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind Spiralen zu sehen. Ist ${\tfrac {n}{m}}$ größer als $\Phi$ , so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen

Berechneter Blütenstand mit 1000 Früchten im Goldenen Winkel – Es stellen sich 13, 21, 34 und 55 Fibonacci-Spiralen ein.

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen (die damit wiederum dem Goldenen Schnitt zugeordnet sind) in Blütenständen, wie bei Sonnenblumen. Dort sitzen Blüten, aus denen später Früchte entstehen, auf der stark gestauchten, scheibenförmigen Blütenstandsachse dicht nebeneinander, wobei jede einzelne Blüte einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann. Wachstumstechnisch aufeinander folgende Früchte liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen werden 34 und 55 Spiralen gezählt, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 %.

Der Goldene Schnitt ist außerdem in radiärsymmetrischen fünfzähligen Blüten erkennbar wie bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Hecken-Rose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in seinem Verhältnis. Das betrifft ebenso Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.

Goldener Schnitt im Efeublatt

Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie bei der Pappel. Auch im Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Noch im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert wäre. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnittes teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen der Verhältnisse im 20-%-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.

Bahnresonanzen

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie Jupiter und Saturn mit 2:5 oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit 1:2:4. Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale Verhältnisse, wie sie im Fall $1:\Phi$ vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen (Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem) genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow, Vladimir Igorevich Arnold und Jürgen Moser stehen.

Schwarze Löcher

Kontrahierbare kosmische Objekte ohne feste Oberfläche, wie Schwarze Löcher oder auch die Sonne, haben aufgrund ihrer Eigengravitation die paradoxe Eigenschaft, heißer zu werden, wenn sie Wärme abstrahlen (negative Wärmekapazität). Bei rotierenden Schwarzen Löchern findet ab einem kritischen Drehimpuls ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt, wobei dieser Tipping-Point von der Masse des Schwarzen Loches abhängt. In einer -dimensionalen Raumzeit kommt dabei eine Metrik ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}d-3&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ ins Spiel, deren Eigenwerte $\Phi$ für d=4 sich als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

$\left|{\begin{pmatrix}1-\Phi &1\\1&-\Phi \end{pmatrix}}\right|=\Phi ^{2}-\Phi -1$

ergeben.

Kristallstrukturen

Der Goldene Schnitt tritt auch bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die 1984 von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden. Dabei handelt es sich um Strukturen mit fünfzähliger Symmetrie, aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen Kristallgitter aufbauen lassen, wie dies bei Kristallen üblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als bei Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fünfzähliger Symmetrie gefunden wurden. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschiedenen rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen der Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität gefüllt werden kann (Penrose-Parkettierung). Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. Für die Entdeckung von Quasikristallen wurde Shechtman 2011 der Nobelpreis für Chemie verliehen.

Anwendungen des Goldenen Schnitts

Papier- und Bildformate

Im Buchdruck wurde gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der sogenannte Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie 2:3:5:8 verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt. Eine solche Gestaltung wird auch weiterhin in Teilen der Fachliteratur zum Buchdruck empfohlen.

Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen

Die folgende Abbildung zeigt im Vergleich verschiedene Rechtecke mit prominenten Seitenverhältnissen in der Umgebung von $\Phi =1{,}618\ldots$ Angegeben ist jeweils das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:

Goldener Schnitt Rechtecke Aspect ratio compare6.png

Φ0√4 : 30 – Traditionelles Fernsehformat und Ballenformat für Packpapier. Auch bei älteren Computermonitoren verwendet (z.B.: 1024 × 768 Pixel). Dieses Format geht zurück auf Thomas Alva Edison, der 1889 das Format des klassischen Filmbildes (35-mm-Film) auf 24 mm × 18 mm festlegte.
Φ0√2 : 10 – Das Seitenverhältnis beim DIN-A4-Blatt und verwandten DIN-/EN-/ISO-Maßen. Bei einer Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks halbiert, entstehen wiederum Rechtecke mit demselben Seitenverhältnis.
Φ0√3 : 20 – Seitenverhältnis beim Kleinbildfilm (36 mm × 24 mm).
Φ√16 : 10 – Manche Computerbildschirme. Diese passen mit 1,6 : 1 fast zum Goldenen Schnitt.
√00Φ : 10 – Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt. Im Bild approximiert mit 144 × 89 Pixel (theoretischer Fehler nur 5 · 10⁻⁵). Die beiden benachbarten Rechtecke 3:2 und 5:3 haben – wie auch das dargestellte Rechteck mit 144:89 – Seitenverhältnisse von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen und approximieren daher ebenfalls den Goldenen Schnitt vergleichsweise gut.
Φ√05 : 30 – Findet neben vielen anderen als Kinofilmformat Verwendung.
Φ√16 : 90 – Breitbildfernsehen.

Architektur

Frühe Hinweise auf eine Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde. Die entsprechende Textstelle ist allerdings interpretierbar. Andererseits wird auch die These vertreten, dass das Verhältnis $2:\pi$ für Pyramidenhöhe zu Basiskante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegele. Der Unterschied zwischen beiden vertretenen Thesen beträgt zwar lediglich 3,0 %, ein absoluter Beweis zugunsten der einen oder anderen These ist demzufolge damit aber nicht verbunden.

Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie die Vorderfront des 447–432 v.Chr. unter Perikles erbauten Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis. Da zu diesen Werken keine Pläne überliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden. Auch in späteren Epochen sind mögliche Beispiele für den Goldenen Schnitt, wie der Dom von Florenz, Notre Dame in Paris oder die Torhalle in Lorsch (770 n.Chr.) zu finden. Auch in diesen Fällen ist die bewusste Anwendung des Goldenen Schnittes anhand der historischen Quellen nicht nachweisbar.

Es gibt demzufolge keinen empirisch gesicherten Nachweis für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnittes in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen. Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnittes.

Altes Leipziger Rathaus nach dem Umbau 1909
Die Mitte des Haupttores schneidet die Gehäusefront im goldenen Schnitt.

Als ein Beispiel für eine Umsetzung des Goldenen Schnittes wird immer wieder das Alte Rathaus in Leipzig, ein Renaissancebau aus den Jahren 1556/57, genannt. Der aus der Mittelachse gerückte Rathausturm wird, so wird behauptet, als architektonische Avantgardeleistung der damaligen Zeit angesehen und er stünde mit dem dadurch verursachten Aufruhr für das städtische Selbstbewusstsein der Stadt. Wobei nicht die Mitte des Rathausturmes, wie man im ersten Moment vermuten mag, die Gehäusefront im goldenen Schnitt teilt, sondern die dazu etwas versetzte Mitte des Haupttores. Gleichwohl gibt es bei genauer historischer Quellenforschung keinen Beleg dafür. Insbesondere gibt es keinen Beleg dafür, dass Hieronymus Lotter als der damalige Baumeister den Goldenen Schnitt bewusst als Konstruktionsprinzip verwendet hat: Alle originären Quellen verweisen lediglich auf einen gotischen Vorgängerbau, auf dessen Grundmauern Lotter das Rathaus errichtet hat. Dass der Goldene Schnitt hier eine Rolle gespielt habe, ist quellenhistorisch nicht belegbar.

Die erste quellenhistorisch gesicherte Verwendung des Goldenen Schnittes in der Architektur stammt aus dem 20. Jahrhundert: Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein einheitliches Maßsystem basierend auf den menschlichen Maßen und dem Goldenen Schnitt. Er veröffentlichte dieses 1949 in seiner Schrift Der Modulor, die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte und -theorie gezählt wird. Bereits 1934 wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen. Für eine frühere Verwendung dieses Systems ist dies jedoch aus den aufgezeigten Gründen kein Beleg.

Bildende Kunst

Bildkomposition

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Für die generelle These, dass diese Proportion als besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege. Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von möglichen Strukturen, wie sie in einem reich strukturierten Gemälde zu finden sind, oft umstritten.

So werden zahlreichen Skulpturen griechischer Bildhauer, wie der Apollo von Belvedere, der Leochares (um 325 v.Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von Phidias (5. Jahrhundert v.Chr.) als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen. Auf letzteren bezieht sich auch die heute oft übliche Bezeichnung $\Phi$ für den Goldenen Schnitt, die von dem amerikanischen Mathematiker Mark Barr eingeführt wurde. Die ebenfalls gelegentlich verwendete Bezeichnung $\tau$ bezieht sich dagegen auf das griechische Wort τομή für „Schnitt“.

Der Goldene Schnitt wird auch in vielen Werken der Renaissance-Künstler vermutet, unter anderem bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, bei Dürers Werken insbesondere in seinem Selbstbildnis von 1500 und seinem Kupferstich Melencolia I von 1514.

Auch in der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt. Als Faustformel wird die Drittel-Regel verwendet.

Zeitgenössische bildende Kunst

Goldener Schnitt von Martina Schettina (2009)

In der zeitgenössischen bildenden Kunst wird der Goldene Schnitt nicht nur als Gestaltungsmerkmal verwendet, sondern ist in manchen Arbeiten selbst Thema oder zentraler Bildinhalt. Der Künstler Jo Niemeyer verwendet den Goldenen Schnitt als grundlegendes Gestaltungsprinzip in seinen Werken, die der konkreten Kunst zugeordnet werden. Die Künstlerin Martina Schettina thematisiert den Goldenen Schnitt in ihren Arbeiten zum Fünfeck, bei dem die Diagonalen einander im Goldenen Schnitt teilen. Sie visualisiert auch die Konstruktionsmethode und Formeln zum Goldenen Schnitt.

Akustik und Musik

Intervalle

In der Musik werden Töne als konsonant empfunden, wenn das Verhältnis ihrer Schwingungsfrequenzen ein Bruch aus kleinen ganzen Zahlen ist. Dass eine Annäherung dieses Verhältnisses zum Goldenen Schnitt hin nicht unbedingt zu einem wohlklingenden Intervall führt, lässt sich daran erkennen, dass unter den Tonintervallen, deren Schwingungsverhältnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht, höchstens die Quinte mit einem Schwingungsverhältnis von 3:2 herausragt. Die große Terz mit einem Schwingungsverhältnis von 5:4 wird schon als harmonischer empfunden als die große Sexte mit 5:3 und die kleine Sexte mit 8:5. Da ein Tonintervall im Goldenen Schnitt mit etwa 833,09 Cent nur etwa 19 Cent größer ist als eine kleine Sexte, ist es für ein wenig geschultes Ohr nur schwer von dieser zu unterscheiden.

Komposition

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich auch in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet. So hat der ungarische Musikwissenschaftler Ernő Lendvai versucht, den Goldenen Schnitt als wesentliches Gestaltungsprinzip der Werke Béla Bartóks nachzuweisen. Seiner Ansicht nach hat Bartók den Aufbau seiner Kompositionen so gestaltet, dass die Anzahl der Takte in einzelnen Formabschnitten Verhältnisse bilden, die den Goldenen Schnitt approximieren würden. Allerdings sind seine Berechnungen umstritten.

In der Musik nach 1945 finden sich Beispiele für die bewusste Proportionierung nach den Zahlen der Fibonacci-Folge, etwa im Klavierstück IX von Karlheinz Stockhausen oder in der Spektralmusik von Gérard Grisey.

Instrumentenbau

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet. Insbesondere beim Geigenbau soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen. So wird auch behauptet, dass der berühmte Geigenbauer Antonio Stradivari den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der F-Löcher für seine Violinen zu berechnen. Diese Behauptungen basieren jedoch lediglich auf nachträglichen numerischen Analysen von Stradivaris Instrumenten. Ein Nachweis, dass Stradivari bewusst den Goldenen Schnitt zur Bestimmung ihrer Proportionen angewandt habe, existiert jedoch nicht.

Informatik

Datenstrukturen

In der Informatik werden Daten in Hashtabellen gespeichert, um darauf schnell zuzugreifen. Die Position h(k) , an der ein Datensatz in der Tabelle gespeichert wird, berechnet sich durch eine Hashfunktion . Für einen effizienten Zugriff müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden. Eine Variante für die Hashfunktion ist die multiplikative Methode, bei der die Hashwerte für eine Tabelle der Größe nach der folgenden Formel berechnet werden:

$h(k)=\lfloor m(kA-\lfloor kA\rfloor )\rfloor$

Dabei stellen $\lfloor \ldots \rfloor$ Gaußklammern dar, die den Klammerinhalt auf die nächste ganze Zahl abrunden. Der angesehene Informatiker Donald E. Knuth schlägt für die frei wählbare Konstante $A=1/\Phi$ vor, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.

Verfahren des Goldenen Schnittes

Das Verfahren des Goldenen Schnittes (auch: Goldener-Schnitt-Verfahren, Methode des Goldenen Schnittes oder Suchverfahren Goldener Schnitt) ist ein Verfahren der mathematischen nichtlinearen Optimierung, genauer berechnet es algorithmisch eine numerische Näherung für eine Extremstelle (Minimum oder Maximum) einer reellen Funktion einer Variablen in einem Suchintervall [a,b] . Es basiert auf der analytischen Anwendung der ursprünglich geometrisch definierten stetigen Teilung. Im Gegensatz zum Intervallhalbierungsverfahren wird dabei das Suchintervall nicht bei jedem Schritt halbiert, sondern nach dem Prinzip des Goldenen Schnittes verkleinert.

Der verwendete Parameter $\tau$ (tau) hat dabei nicht, wie bei dem Bisektionsverfahren, den Wert ${\tfrac {1}{2}}$ , sondern es wird $\textstyle \tau =\Phi -1$ gewählt, sodass sich zwei Punkte $\textstyle x=b-\tau (b-a)$ und $\textstyle x'=a+\tau (b-a)$ für das Optimierungsverfahren ergeben, die das Suchintervall im Goldenen Schnitt teilen.

Wird angenommen, dass jeder Punkt in jedem Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit Extrempunkt sein kann, führt dies bei Unbestimmtheitsintervallen dazu, dass das Verfahren des Goldenen Schnittes z.B. um 14 % effektiver ist als die Intervallhalbierungsmethode. Im Vergleich zu diesem und weiteren sequentiellen Verfahren ist es – mathematisch gesehen – das für allgemeine Funktionen effektivste Verfahren; nur im Fall differenzierbarer Funktionen ist es der direkten mathematischen Lösung unterlegen. Dass sich dieses Verfahren in der manuellen Rechnung nicht durchgesetzt hat, liegt vor allem an den notwendigen Wurzelberechnungen für die einzelnen Zwischenschritte.

Sonstiges

Eine weitere Verbindung zwischen der Informationstheorie und dem Goldenen Schnitt wurde durch Helmar Frank mit der Definition der Auffälligkeit hergestellt. Er konnte zeigen, dass der mathematische Wert des Maximums der Auffälligkeit sehr nah an das Verhältnis des Goldenen Schnitts herankommt.

Literatur

Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996. ISBN 3-86025-404-9.
Priya Hemenway: Divine Proportion. Phi in Art, Nature and Science. Sterling, New York 2005, ISBN 1-4027-3522-7. (Priya Hemenway: Der Geheime Code: Die rätselhafte Formel, die Kunst, Natur und Wissenschaft bestimmt. Taschen Verlag, Köln 2008, ISBN 978-3-8365-0708-0)

Anmerkungen

↑ Die hier auftretende Abweichung ist ungefähr 16-mal kleiner als die durch den Dirichletscher Approximationssatz garantierte (nämlich ${\tfrac {1}{49}}$ ). Bei der Näherung von $\Phi$ durch ${\tfrac {13}{8}}$ ist die Abweichung dagegen nur 2,2-mal kleiner als ${\tfrac {1}{64}}$ .
↑ a) Serge Lang: Introduction to Diophantine Approximations. Springer-Verlag 1995, S. 9.
b) Ivan Niven, Herbert S. Zuckermann, Hugh L. Montgomery: An Introduction to the Theory of Numbers. Wiley, 1960, 5. Auflage 1991, ISBN 0-471-54600-3, S. 338 (Theorem 7.13).
Zu beachten ist aber: Dieser Satz schließt nicht aus, dass es außer diesen Brüchen ${\tfrac {p}{q}}$ noch weitere beste Approximationen gibt. Zum Beispiel approximiert ${\tfrac {13}{4}}$ die Zahl $\pi$ besser als 3 und ${\tfrac {311}{99}}$ approximiert $\pi$ besser als ${\tfrac {22}{7}}$ .
↑ Wenn es zutrifft, dass Hippasos die Irrationalität am Fünfeck (und nicht am Viereck) entdeckt hat, so wäre er auch Erfinder des Goldenen Schnittes. Da aber genau das umstritten ist – Leonid Zhmud (Wissenschaft, Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus. Akademie Verlag, Berlin 1997) S. 174 f. (argumentiert für das Quadrat) und Kurt von Fritz: Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, Berlin 1971, S. 564–569 (plädiert für das Fünfeck); Anderenfalls ist Eudoxos mit seinen Forschungen zur Proportionalität und als nachweisbarer Ideengeber für Euklid dann als Erfinder anzusehen.
↑ Formalisierte Wiedergabe nach Heinz Lüneburg: Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. 2. überarb. und erw. Ausg., Mannheim u.a.: BI Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15462-4, S. 298.
↑ Leonardo da Pisa: Liber abbaci. Cap. 15, ed. Boncompagni S. 438, zu finden auch schon in der Wiedergabe von cap. 15 bei Guillaume Libri: Histoire des sciences mathématiques in Italie. Band II, Paris: Jules Renouard et C.ie, 1838, S. 430
↑ Leonard Curchin / Roger Herz-Fischler: De quand date le premier rapprochement entre la suite de Fibonacci et la division en extrême et moyenne raison? In: Centaurus. 28,2 (1985), S. 129–138, insbes. S. 130.

Basierend auf einem Artikel in:

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