Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus
Areasinus hyperbolicus (abgekürzt oder ) und Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt oder ) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
Definitionen
Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:
Areasinus hyperbolicus:
- mit
Areakosinus hyperbolicus:
- für
Hier steht für den natürlichen Logarithmus.
Umrechnung
Zusammen mit der Signumfunktion gilt der Zusammenhang:
Für gilt:
Eigenschaften
|
|
Areasinus hyperbolicus | Areakosinus hyperbolicus | |
---|---|---|
Definitionsbereich | ||
Wertebereich | ||
Periodizität | keine | keine |
Monotonie | streng monoton steigend | streng monoton steigend |
Symmetrien | Punktsymmetrie zum Ursprung, ungerade Funktion |
keine |
Asymptote | für | für |
Nullstellen | ||
Sprungstellen | keine | keine |
Polstellen | keine | keine |
Extrema | keine | keine |
Wendepunkte | keine |
Reihenentwicklungen
Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei treten die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.
Die Reihenentwicklungen lauten:
Ableitungen
Die Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet:
Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:
- für x > 1
Stammfunktionen
Die Stammfunktionen des Areasinus hyperbolicus und des Areakosinus hyperbolicus lauten:
Andere Identitäten
Numerische Berechnung
Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel
berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:
- Große, positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
- Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird.
Zunächst einmal soll der Operand positiv gemacht werden:
- für angewandt.
Für können dann folgende Fälle unterschieden werden:
Fall 1: ist eine große, positive Zahl mit :
- wobei die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.
- Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:
- ist die kleinste positive Zahl, ab der die letzte Vorkommastelle nicht mehr gespeichert ist, weshalb gilt. Jetzt soll dasjenige berechnet werden, ab dem gilt: . Dies gilt für , woraus folgt. Somit kann man in der bekannten Formel für den Areasinus hyperbolicus durch ersetzen:
- ≈
Fall 2: ist nahe an 0, z.B. für :
- Verwendung der Taylorreihe:
Fall 3: Alle übrigen :
In gleicher Weise kann der Areacosinus hyperbolicus über die Formel
berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das Problem mit den großen Operanden; die Lösung ist dieselbe wie beim Areasinus:
Fall 1: ist eine große positive Zahl mit :
- wobei die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist.
Fall 2: :
- Das Ergebnis ist nicht definiert.
Fall 3: Alle übrigen , d. h. für :
Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.12. 2021