Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus

Areasinus hyperbolicus (abgekürzt \operatorname {arsinh} oder \operatorname {asinh}) und Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt \operatorname {arcosh} oder \operatorname {acosh}) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Definitionen

Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

Areasinus hyperbolicus:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)} mit {\displaystyle \,x\in \mathbb {R} }

Areakosinus hyperbolicus:

{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)} für x \geq 1

Hier steht \ln für den natürlichen Logarithmus.

Umrechnung

Zusammen mit der Signumfunktion \sgn gilt der Zusammenhang:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\operatorname {sgn} (x)\cdot \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)}

Für x \geq 1 gilt:

{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)}

Eigenschaften

Graph der Funktion arsinh(x)
Graph der Funktion arcosh(x)
 
  Areasinus hyperbolicus Areakosinus hyperbolicus
Definitionsbereich -\infty <x<+\infty 1\leq x<+\infty
Wertebereich -\infty <f(x)<+\infty 0\leq f(x)<+\infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung,
ungerade Funktion
keine
Asymptote {\displaystyle f(x)\to \pm \ln(2|x|)} für {\displaystyle x \to \pm \infty} {\displaystyle f(x)\to \ln(2x)} für x \to +\infty
Nullstellen x=0 x=1
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte x=0 keine

Reihenentwicklungen

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei treten die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsinh} (x)&=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!(-x^{2})^{k}}{(2k)!!(2k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\binom {-{\frac {1}{2}}}{k}}x^{2k+1}}{2k+1}}&{}\\&=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &{\text{ für }}|x|<1\\\operatorname {arsinh} (x)&=\operatorname {sgn} (x)\cdot \left[\ln(2|x|)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^{2})^{k}}}\right]&{\text{ für }}|x|>1\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln(2x)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}}x^{-2k}&{}\end{alignedat}}}

Ableitungen

Die Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet:

{\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}x}}\operatorname {arsinh}(x)={\frac  {1}{{\sqrt  {x^{2}+1}}}}

Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:

{\frac  {{\mathrm  {d}}}{{\mathrm  {d}}x}}\operatorname {arcosh}(x)={\frac  {1}{{\sqrt  {x^{2}-1}}}} für x > 1

Stammfunktionen

Die Stammfunktionen des Areasinus hyperbolicus und des Areakosinus hyperbolicus lauten:

{\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (x)\ \mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
{\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (x)\ \mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}

Andere Identitäten

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)=2\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)=4\operatorname {arcosh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 1\\\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)=2\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 0\\\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)=4\operatorname {arsinh} (x)\qquad {\text{ für }}x\geq 0\end{aligned}}}


{\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}

Numerische Berechnung

Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel

{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}

berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion \ln x zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:

Zunächst einmal soll der Operand x positiv gemacht werden:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=-\operatorname {arsinh} (-x)} für x<0 angewandt.

Für x\geq 0 können dann folgende Fälle unterschieden werden:

Fall 1: x ist eine große, positive Zahl mit {\displaystyle x\geq {10}^{\frac {k}{2}}}:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln {2}+\ln {x},}
wobei k die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.
Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:
{\displaystyle {10}^{k}} ist die kleinste positive Zahl, ab der die letzte Vorkommastelle nicht mehr gespeichert ist, weshalb {\displaystyle {10}^{k}+{1}\approx {10}^{k}} gilt. Jetzt soll dasjenige x berechnet werden, ab dem gilt: {\displaystyle x^{2}+1\approx {x}^{2}}. Dies gilt für {\displaystyle {x}^{2}\geq {10}^{k}}, woraus {\displaystyle {x}\geq {10}^{\frac {k}{2}}} folgt. Somit kann man in der bekannten Formel für den Areasinus hyperbolicus x^2 + 1 durch x^{2} ersetzen:
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}{\displaystyle \ln(x+{\sqrt {x^{2}}})=\ln({2x})=\ln {2}+\ln {x}}

Fall 2: x ist nahe an 0, z.B. für {\displaystyle x<0{,}125}:

Verwendung der Taylorreihe:
{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\dotsb }

Fall 3: Alle übrigen x:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}

In gleicher Weise kann der Areacosinus hyperbolicus über die Formel

{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}

berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das Problem mit den großen Operanden; die Lösung ist dieselbe wie beim Areasinus:

Fall 1: x ist eine große positive Zahl mit {\displaystyle x\geq {10}^{\frac {k}{2}}}:

{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln {2}+\ln {x},}
wobei k die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist.

Fall 2: x < 1:

Das Ergebnis ist nicht definiert.

Fall 3: Alle übrigen x, d. h. für {\displaystyle 1\leq x<{10}^{\frac {k}{2}}}:

{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.12. 2021