Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole bzw. , in älteren Quellen auch und . Der Kosinus hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.
Definitionen
- Sinus hyperbolicus
- Kosinus hyperbolicus
Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion ().
Eigenschaften
Sinus hyperbolicus | Kosinus hyperbolicus | |
---|---|---|
Definitionsbereich | ||
Wertebereich | ||
Periodizität | keine | keine |
Monotonie | streng monoton steigend |
streng monoton fallend streng monoton steigend |
Symmetrien | Punktsymmetrie zum Ursprung | Achsensymmetrie zur Ordinate |
Asymptotische
Funktionen |
||
Nullstellen | keine | |
Sprungstellen | keine | keine |
Polstellen | keine | keine |
Extrema | keine | Minimum bei |
Wendestellen | keine |
Spezielle Werte
- mit dem goldenen Schnitt
Uneigentliches Integral
Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:
Umkehrfunktionen
Der Sinus hyperbolicus bildet bijektiv auf ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus hyperbolicus nennt.
Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall bijektiv auf das Intervall und lässt sich eingeschränkt auf also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus
Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:
- .
- .
Ableitungen
Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:
Stammfunktionen
Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)
Additionstheoreme
insbesondere gilt für :
und für :
Summenformeln
Reihenentwicklungen
Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt lautet:
Produktentwicklungen
Komplexe Argumente
Mit gilt:
So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:
Mit gilt
Durch Koeffizientenvergleich folgt:
Anwendungen
Lösung einer Differentialgleichung
Die Funktion
- mit
löst die Differentialgleichung
- .
Kettenlinie
Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.
Lorentz-Transformation
Mit Hilfe der Rapidität kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):
Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.
Kosmologie
Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch
- ,
wobei
eine charakteristische Zeitskala ist. ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:
- .
Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 27.12. 2021