Extremwert

Minima und Maxima der Funktion cos(3πx)/x im Bereich 0.1≤ x ≤1.1

In der Mathematik ist Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt; die zugehörige Stelle x wird lokaler Maximierer bzw. lokaler Minimierer, Maximalstelle bzw. Minimalstelle oder zusammenfassend auch Extremstelle genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt.

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt, für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog definiert.

Die Lösung einer Extremwertaufgabe nennt man die extremale Lösung.

Eindimensionaler Fall

Formale Definition

Es sei U\subseteq\mathbb R eine Teilmenge der reellen Zahlen (z.B. ein Intervall) und f\colon U\to\mathbb R eine Funktion.

f hat an der Stelle x_{0}\in U

Besitzt die Funktion an der Stelle x_{0} ein Maximum, so nennt man den Punkt (x_{0},f(x_{0})) Hochpunkt, hat sie dort ein Minimum, so heißt der Punkt Tiefpunkt. Liegt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vor, so spricht man von einem Extrempunkt.

Existenz von Extrema

Sind a \le b reelle Zahlen und ist f\colon [a,b]\to \mathbb {R} eine stetige Funktion, so nimmt f ein globales Maximum und ein globales Minimum an. Diese können auch in den Randstellen a oder b angenommen werden.

Diese Aussage folgt aus dem Satz von Heine-Borel, wird aber oft auch nach K. Weierstraß oder B. Bolzano benannt oder als Satz vom Maximum und Minimum bezeichnet.

Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

Es sei U\subseteq\mathbb R offen, und f\colon U\to\mathbb R eine differenzierbare Funktion.

Notwendiges Kriterium

Hat f an einer Stelle x_{0}\in U ein lokales Extremum und ist dort differenzierbar, so ist dort die erste Ableitung gleich null:

f'(x_{0})=0\,.

Hinreichende Kriterien

{\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\ldots =f^{(n-1)}(x_{0})=0\,\wedge f^{(n)}(x_{0})\neq 0,}
so folgt daraus:
(1) Ist n gerade sowie {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0} (bzw. {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}), so hat f damit bei x_{0} ein relatives Maximum (bzw. Minimum).
(2) Ist n hingegen ungerade, so hat f bei x_{0} kein lokales Extremum (des Funktionswerts, sondern eines des Anstiegs, also eine Wendestelle).
Oder ganz allgemein formuliert: Ist die erste von Null verschiedene Ableitung f^{(n)} der Funktion f an der Stelle x_{0}, an der {\displaystyle f'(x_{0})=0} ist, eine Ableitung gerader Ordnung, so besitzt f damit an dieser Stelle einen Extrempunkt, wobei eine von Null verschiedene Ableitung {\displaystyle f^{(n)}>0} für ein Minimum, eine Ableitung {\displaystyle f^{(n)}<0} dagegen für ein Maximum steht. (Man vergleiche hierzu Funktionen der Form: f(x)=x^n, n\in \mathbb {N} .)

Es gibt allerdings auch Funktionen, bei denen keines der og. Kriterien weiterhilft (s.u.).

Beispiele

Anwendungsbeispiel

In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Berechnung von größt- oder kleinstmöglichen Vorgaben verwendet werden, wie das folgende Beispiel zeigt (siehe auch Optimierungsproblem):

Lösungsweg:

Der Umfang  U ist konstant, die Fläche A soll maximiert werden, a ist die Länge und b die Breite:

1)\qquad U=2(a+b)\Rightarrow b={\frac  {U}{2}}-a
2)\qquad A=a\cdot b

1) in 2) einsetzen und umformen

A(a)=-a^{2}+{\frac  {1}{2}}Ua

Ableitungsfunktionen bilden

A'(a)=-2a+{\frac  {1}{2}}U
A''(a)=-2\qquad \Rightarrow Hochpunkt der Funktion

Es gibt nur ein lokales Maximum, das in dem vorliegenden Beispiel (ohne Nachweis) zugleich auch das globale Maximum ist, da die zweite Ableitung unabhängig von der Variablen immer kleiner als Null ist.

Um einen Extremwert zu finden, muss die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden (da diese die Steigung der ursprünglichen Funktion beschreibt und diese Steigung bei Extremwerten Null ist. Ist die zweite Ableitung der Funktion ungleich Null, so liegt ein Minimum oder Maximum vor).

{\displaystyle A'(a)=-2a+{\frac {1}{2}}U=0\Rightarrow }
a={\frac  {1}{4}}U\ \Rightarrow \ U=4a

Einsetzen in 1)

4a=2(a+b)\ \Rightarrow \ a=b

Es folgt daraus, dass der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks bei vorgegebenen Umfang dann zu erzielen ist, wenn beide Seitenlängen gleich sind (was einem Quadrat entspricht). Umgekehrt lässt sich aber auch sagen, dass ein Rechteck mit vorgegebenem Flächeninhalt den geringsten Umfang aufweist, wenn sich

a:b=1:1

verhalten – also bei einem Quadrat.

Mehrdimensionaler Fall

Es sei U\subseteq\mathbb R^n und f\colon U\to\mathbb R eine Funktion. Weiterhin sei x ein innerer Punkt von U. Ein lokales Minimum/Maximum in x ist dann gegeben, wenn eine Umgebung um x existiert, in welcher kein Punkt einen kleineren bzw. größeren Funktionswert annimmt.

Analog zum eindimensionalen Fall ist das Verschwinden des Gradienten

Df(x)=\operatorname{grad} f(x)

eine notwendige Bedingung dafür, dass f im Punkt x ein Extremum annimmt. Hinreichend ist in diesem Fall die Definitheit der Hesse-Matrix D^{2}f(x): ist sie positiv definit, liegt ein lokales Minimum vor; ist sie negativ definit, handelt es sich um ein lokales Maximum; ist sie indefinit, liegt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vor. Wenn sie nur semidefinit ist, ist keine Entscheidung anhand der Hesse-Matrix möglich (peanosche Fläche).

Unendlichdimensionaler Fall

Definition

Der Begriff des Maximums und des Minimums überträgt sich direkt auf den unendlichdimensionalen Fall. Ist X ein Vektorraum und D\subset X eine Teilmenge dieses Vektorraumes sowie  f\colon D \to \R ein Funktional. Dann hat f an der Stelle {\tilde  x}\in D

Der Zusatz „globales“ wird meist weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist. Ist X zusätzlich mit einer Topologie versehen, also ein topologischer Raum, dann hat f an der Stelle {\tilde  x}\in D

Ein Punkt heißt ein (lokales) Extremum, wenn er ein (lokales) Minimum oder ein (lokales) Maximum ist. Jedes globale Minimum (Maximum) ist ein lokales Minimum (Maximum).

Existenz, Eindeutigkeit und Geometrie von Extrema

Existenz

Entsprechend den Existenzaussagen für reelle Funktionen gibt es auch Aussagen für die Existenz von Extremalstellen von Funktionalen. Ist X ein normierter Raum, so gilt:

Da diese Version für die Anwendung und Überprüfung oft unpraktisch ist, schwächt man dies ab zu der Aussage, dass jedes stetige quasikonvexe Funktional auf einer beschränkten, konvexen und abgeschlossenen Teilmenge eines reflexiven Banachraums ein Minimum annimmt. Diese Aussage gilt auch für alle konvexen Funktionale, da diese immer quasikonvex sind. Im Endlichdimensionalen kann auf die Konvexität der Teilmenge verzichtet werden.

Eindeutigkeit

Unter gewissen Umständen sind die Optimalpunkte sogar eindeutig bestimmt. Dazu gehört zum Beispiel die strikte Konvexität.

Geometrie

Schränkt man sich auf gewisse Klassen von Funktionalen ein, so kann man Aussagen über die Geometrie der Menge der Extremalpunkte treffen.

Andere Extremwerte

Diskrete Optimierung

Bei diskreten Optimierungsproblemen ist der oben definierte Begriff des lokalen Extremums nicht geeignet, da in jedem Punkt ein lokales Extremum in diesem Sinne vorliegt. Für Extrema einer Funktion f\colon D\to {\mathbb  R} wird daher ein anderer Umgebungsbegriff verwendet: Man benutzt eine Nachbarschaftsfunktion N, die jedem Punkt die Menge seiner Nachbarn zuordnet,

N\colon D\to {\mathcal  P}(D);

dabei steht {\mathcal  P}(D) für die Potenzmenge von D.

f hat dann ein lokales Maximum in einem Punkt x_{0}\in D, wenn f(x)\leq f(x_{0}) für alle Nachbarn x\in N(x_{0}) gilt. Lokale Minima sind analog definiert.

Variationsrechnung

Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, z.B. die Kontur eines Regentropfens mit minimalem Luftwiderstand, sind Gegenstand der Variationsrechnung.

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 17.12. 2021